Exercícios Resolvidos de Teorema de Stokes

George B. Thomas e Weir Hass Giordano, Cálculo –Volume 2, 11ª ed. São Paulo: Pearson Education Brasil ltda., 2009, pp. 534 - 3

Use a integral de superfície no teorema de Stokes para calcular a circulação do campo F   ao redor da curva C no sentido indicado.

F : y i + x z j + x 2 k

C : A fronteira do triângulo cortado a partir do plano x + y + z = 1 pelo primeiro octante, no sentido anti-horário quando vista de cima.

Passo 1

Antes de aplicar o Teorema de Stokes vamos ver o que é circulação. Circulação é definido como:

S   F . d r

Que sorte! Porque o Teorema de Stokes nos diz que:

S   F . d r = S   ( ×   F ) . n d S

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos começar calculando o rotacional de F :

×   F = i j k x y z F 1 F 2 F 3

×   F = ( - x , - 2 x , z - 1 )

Passo 3

Para este plano podemos usar a parametrização explícita:

z = f x , y = 1 - x - y

N x , y = - f x x , y ,   - f y x , y ,   1

N x , y = 1 ,   1 ,   1

Passo 4

Resolvendo a integral de superfície:

S   F . d r =   σ ( ×   F ) . n d S = σ ( ×   F ) . N d x d y

σ ( - x , - 2 x , z - 1 ) . 1 ,   1 ,   1 d y d x

0 1 0 1 - x - x - 2 x + z - 1   d y d x

Como, z = 1 - x - y

0 1 0 1 - x - 4 x - y d y d x

0 1 - 4 x 1 - x + 1 2 1 - x 2 d x

- 0 1 1 2 + 3 x - 7 2 x 2 d x = - 5 6

Resposta

Assim, temos que a circulação

S   F . d r = - 5 6

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