(Cap.16.8 - Exercício 3) Use o teorema de Stokes para calcular ∬ S c u r l F → ⋅ d S .

F → x , y , z = x 2 z 2 i → + y 2 z 2 j → + x y z k → , S é a parte do parabolóide z = x 2 + y 2 que está dentro do cilindro x 2 + y 2 = 4 , com orientação ascendente.

Passo 1

Oiii galera, tudo bem? Bom gente a integral de superfície pode ser calculada simplesmente com os valores de F   na fronteira C . Isso quer dizer que se tivermos outra superfície orientada com a mesma fronteira C , teremos o mesmo valor para a integral de superfície.

Assim, o primeiro passo que devemos fazer nesse tipo de questão é achar a curva fronteira C e em seguida fazer a parametrização das equações. Com os valores de F → e r → ' t em mãos poderemos solucionar nosso problema.

Passo 2

A primeira coisa aqui a se fazer é determinar a fronteira. Como é um círculo:

x 2 + y 2 = 4

Vou preferir usar a forma do teorema que diz ∫ C F → ⋅ d r → . Uma parametrização possível é:

r → t = 2 c o s t i → + 2 s e n t j → + 4 k →

E o campo em função dessa nova parametrização fica:

F → x t , y t , z t = x 2 z 2 i → + y 2 z 2 j → + x y z k → = 64 c o s 2 t i → + 64 s e n 2 t j → + 16 s e n t c o s t k →

Passo 3

E o vetor d r → ? Ele é d r → = r → ' t d t , então temos que calcular r → ' t :

r → t = 2 c o s t i → + 2 s e n t j → + 4 k →

r → ' t = − 2 s e n t i → + 2 c o s t j → + 0 k →

E o produto escalar entre F → t ⋅ r → ' t é:

64 c o s 2 t , 64 s e n 2 t , 16 s e n t c o s t ⋅ − 2 s e n t , 2 c o s t , 0 = − 128 c o s 2 t s e n t + 128 s e n 2 t c o s t + 0

Com 0 ≤ t ≤ 2 π .

Passo 4

Legal! O próximo passo é colocar na integral!

∫ C F → ⋅ d r → = ∫ 0 2 π − 128 c o s 2 t s e n t d t + ∫ 0 2 π 128 s e n 2 t c o s t d t

Resolvemos ambas por substituição simples, então:

∫ C F → ⋅ d r → = + 128 . c o s t 3 3 0 2 π + 128 . s e n t 3 3 0 2 π = 128 3 c o s 3 2 π − c o s 3 0 + 128 3 s e n 3 2 π − s e n 3 0 = 128 3 1 − 1 + 128 3 0 − 0 = 0

Tudo ok? Se não tiver, calma. A prática vai melhorar o entendimento!

Bons Estudos!

Resposta

∬ S c u r l F → ⋅ d S = 0

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