Calcule ∬ S r o t F → ∙ n → d S onde F → x , y , z = y , 2 x , x y z , S é formada pelas cinco faces do cubo 0,2 × 0,2 × 0,2 que não estão no plano x y com n → exterior a S , usando o teorema de Stokes.

Passo 1

Ele está mandando usarmos o teorema de Stokes, então quem somos nós para não fazer isso não é mesmo? Mas antes de aplicar o teorema de Stokes temos que entender qual a fronteira desse cubo. Repara que vai ser uma figura assim no x y

Podemos entender a fronteira como os 4 lados do quadrado, Vamos chamar esses 4 lados de C 1 , C 2 , C 3 e C 4 , e fazer

C = C 1 ∪ C 2 ∪ C 3 ∪ C 4

O teorema de Stokes transforma integral de linha em integral dupla através do rotacional, então seria algo assim

∬ S r o t F → ∙ n → d S = ∫ C F → ∙ d r →

E agora que temos C podemos usar o teorema de Stokes e calcular a integral de linha

Fica atento que eu não disse quem era qual C i , mas temos que fazer essa parada rodar no sentido anti-horário.

Passo 2

Vamos fazer de cada lado, primeiro C 1 , mas que é C 1 ?tanto faz rs vamos fazer o lado que x = 0 e y vai de 0 à 2

C 1 : x = 0   e   0 ≤ y ≤ 2

Vamos fazer a parametrização disso

σ 1 = 0 , t , 0

Com t ∈ 0,2

Precisamos agora de σ 1 '

σ 1 ' = 0,1 , 0

Repara que pegamos o sentido contrário ao que queremos, basta no final da resposta trocar o sinal do cara.

Passo 3

A integral de linha em C 1 vai ficar

∫ C 1 F → ∙ d r → = ∫ 0 2 t , 2 ∙ 0 , t ∙ 0 ∙ 0 ∙ 0,1 , 0 d t = ∫ 0 2 0 d t = 0

Como queremos o sentido contrário deveríamos trocar o sinal, mas deu 0 então não faz diferença rs.

Passo 4

Vamos ver agora C 2 , aqui vamos deixar y = 0 e x variando entre 0 e 2

C 2 : y = 0   e   0 ≤ x ≤ 2

Vamos fazer a parametrização disso

σ 2 = t , 0,0

Com t ∈ 0,2

Precisamos agora de σ 2 '

σ 2 ' = 1,0 , 0

Passo 5

A integral de linha em C 2 vai ficar

∫ C 2 F → ∙ d r → = ∫ 0 2 0,2 t , t ∙ 0 ∙ 0 ∙ 1,0 , 0 d t = ∫ 0 2 0 d t = 0

Passo 6

Vamos ver agora C 3 , aqui vamos deixar x = 2 e y variando entre 0 e 2

C 3 : x = 2   e   0 ≤ y ≤ 2

Vamos fazer a parametrização disso

σ 3 = 2 , t , 0

Com t ∈ 0,2

Precisamos agora de σ 3 '

σ 3 ' = 0,1 , 0

Passo 7

A integral de linha em C 3 vai ficar

∫ C 3 F → ∙ d r → = ∫ 0 2 t , 2 ∙ 2 , t ∙ 2 ∙ 0 ∙ 0,1 , 0 d t = ∫ 0 2 4 d t = 4 t t = 0 2 = 4 2 - 0 = 8

Passo 8

Vamos ver agora C 3 , aqui vamos deixar y = 2 e x variando entre 0 e 2

C 4 : y = 2   e   0 ≤ x ≤ 2

Vamos fazer a parametrização disso

σ 4 = t , 2,0

Com t ∈ 0,2

Precisamos agora de σ 4 '

σ 4 ' = 1,0 , 0

Repara que pegamos o sentido contrário ao que queremos, basta no final da resposta trocar o sinal do cara.

Passo 9

A integral de linha em C 3 vai ficar

∫ C 4 F → ∙ d r → = - ∫ 0 2 2,2 t , 0 ∙ 1,0 , 0 d t = - ∫ 0 2 2 d t = - 2 t t = 0 2 = - 2 2 - 0 = - 4

E o sinal já está trocado como deveria, desde o início coloquei a integral com na frente

Passo 10

A integral de linha vai ficar

∫ C F → ∙ d r → = ∫ C 1 F → ∙ d r → + ∫ C 2 F → ∙ d r → + ∫ C 3 F → ∙ d r → + ∫ C 4 F → ∙ d r →

∫ C F → ∙ d r → = 0 + 0 + 8 - 4 = 4

Assim vamos ter

∬ S r o t F → ∙ n → d S = 4

Resposta

4

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