Considere o campo de vetores F x , y , z = x , y , x 2 + y 2 . Use o Teorema de Stokes para calcular

∫ C F   .     d r →

onde C é a fronteira da parte do paraboloide z = 1 - x 2 - y 2 que está no primeiuro octante e orientada no sentido anti-horário quando o bordo é visto de cima.

Passo 1

Vamos lá, antes de mais nada, para podermos ver a possibilidade de aplicarmos o teorema de stoeks, temos que conferir as condições. A primeira dela é termos uma curva fechada. Nesse caso, a curva é a fronteira desse paraboloide no primeiro octante. Então até ai tudo certo.

O campo não pode ter nenhuma singularidade:

F x , y , z = x , y , x 2 + y 2

Está tudo bem com esse campo.

Por último, mas não menos importante, vamos ter que tomar cuidado com a orientação, pra mantê-la positiva.

Bom, com isso podemos então aplicar o teorema.

Passo 2

Vamos começar calculando o rotacional:

F x , y , z = x , y , x 2 + y 2

r o t F = 2 y - 0 ,   0 - 2 x ,   0 - 0

r o t F = ( 2 y ,   - 2 x ,   0 )

Passo 3

Vamos agora para nossa parametrização:

A superfície é:

z = 1 - x 2 - y 2

Logo, com uma parametrização explícita ficamos com:

φ x ,   y = ( x ,   y ,   1 - x 2 - y 2 )

Nosso vetor normal então fica:

Para isso vamos fazer:

∂ φ ∂ x × ∂ φ ∂ y  

∂ φ ∂ x = ( 1,0 , - 2 x )

∂ φ ∂ y = ( 0,1 , - 2 y )

Podemos com isso então partir para matriz:

i j k 1 0 - 2 x 0 1 - 2 y =

= ( 2 x ,   2 y ,   1 )

Passo 4

Montando agora então nossa integral:

∬ S r o t F n   d s =   ∬ D 2 y ,   - 2 x ,   0 2 x ,   2 y ,   1 d x d y

∬ D 4 x y - 4 x y + 0 d x d y =

∬ D 0   d x d y

= 0

Resposta

0

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