Seja f x , y , z = ( x y z ) e x y

1. Calcule o campo gradiente F → = ∇ → f

2. Seja S a parte da esfera x 2 + y 2 + z 2 = 1 que satisfaz x ≥ 1 / 2 , orientada de forma que i → seja seu vetor normal no ponto 1,0 , 0 . Denote C o bordo de S orientado positivamente. Esboce a superfície S e a curva C com as orientações indicadas.

3. Defina o campo vetorial

G → = F → + z - y i → + y   k →

Onde F → foi calculado no item 1 . Dada a supefície S do item 2 , calcule o fluxo do campo r o t ( G → ) através de S .

Passo 1

1.

Bem aqui vamos só usar um conceito que aprendemos lá em Cálculo 2 e lembrar que o gradiente é, simplesmente:

F → = ∇ → f = ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y , ∂ f ∂ z

E calculando um por um, temos:

∂ f ∂ x = y z ∙ e x y + x y z y e x y = e x y y z + x y 2 z

∂ f ∂ y = x z ∙ e x y + x y z x e x y = e x y x z + x 2 y z

∂ f ∂ z = e x y x y

Então, fica meio feio mas foi o que a questão pediu:

F → = e x y y z + x y 2 z , e x y x z + x 2 y z , e x y x y

Passo 2

2.

Aqui é só pra desenhar, então vamos começar com a esfera toda:

Mas ele diz que só o pedaço x ≥ 1 / 2 , então só pegamos mesmo essa parte em vermelho aqui:

Agora só temos que fazer a curva da fronteira com orientação certa, seguindo aregra da mão direita. No final, vamos ter algo assim:

Onde, só pra deixar bem claro, S é a parte em vermelho da superfície e C a curva em azul.

Passo 3

3.

Agora as coisas complicam um pouco mais e ele ainda pede a integral... Mas calma que fazendo tudo no passo-a-passo nao vai ter erro!

Temos o campo:

G → = F → + z - y i → + y   k →

Onde F → é aquele campo bizarrinho que encontramos lá em cima. Esse outro pedaço eu vou chamar de H → = z - y ,   0 ,   y só pra facilitar e não nos confundirmos no caminho.

Agora temos que calcular o rotacional de G → , mas essa conta parece muito chata, né?

Calma que agora vamos lembrar de algo que vai facilitar tudo! Não foi o exercício mesmo que disse que o campo é o gradiente de uma função escalar? Então, isso é dizer que o campo é conservativo! E campos conservativos tem rotacional nulo.

Na hora da conta, o que vamos ter vai ser simplesmente:

rot ⁡ G → = rot ⁡ F → + rot ⁡ H → = 0 + rot ⁡ H →

⇒ rot ⁡ G → = rot ⁡ H →

Que é consideravelmente tranquilo de calcular. Vamos ver!

Passo 4

O rotacional é o produto vetorial do operador ∇ → com o campo, então:

rot ⁡ H → = ∇ → × H → = i → j → k → ∂ x ∂ y ∂ z z - y 0 y

⇒ 1 - 0 i → - 0 - 1 j → + 0 - - 1 k → = 1,1 , 1

É ou não é um valor muito simpático, hein? Haha

Agora é só calcularmos a integral!

Passo 5

Vamos logo ao que ele pede mesmo, que é a integral do fluxo do rotacional de G → sobre S :

∬ S rot ⁡ G → ∙ d S →

Poderíamos já tentar calcular essa integral diretamente aí, já que nem a superfície nem o campo são muito complicados, mas aqui vamos usar um macetezinho do teorema de Stokes, já que essa integral do fluxo do rotacional é exatamente a integral que aparece lá no teorema:

∬ S rot ⁡ G → ∙ d S → = ∫ ∂ S G → ∙ d r →

E a fronteira ∂ S , no caso, é a circunferência, que desenhamos lá no item 2 :

1 2 2 + y 2 + z 2 = 1

→ y 2 + z 2 = 3 4

O legal é que a nossa superfície S com certeza não é a única que tem essa fronteira, então podemos fazer:

∬ S rot ⁡ G → ∙ d S → = ∫ ∂ S G → ∙ d r → = ∬ S 1 rot ⁡ G → ∙ d S →

E escolhermos uma outra superfície de mesma fronteira qualquer que seja mais simples ainda de se calcular. No caso, vamos escolher o próprio plano x = 1 / 2 , parametrizado, simplesmente por:

S 1 : φ → y , z = 1 2 ,   y ,   z

Limitado pelo círculo da fronteira.

Agora é só calcular, vamos ver no que dá!

Passo 6

Temos que calcular a integral do fluxo do rotacional pela nossa superfície S 1 , então vamos pela fórmular da definição:

∬ S 1 rot ⁡ G → ∙ d S → = ∬ D rot ⁡ G → ∙ N →   d A

Mas já temos o campo vetorial rotacional e a parametrização, só precisamos encontrar o normal, mas como temos uma parametrização explícita, podemos usar aquele macetinho pra não termos que calcular, ne?

N → y , z = 1 ,   ∂ x ∂ y , ∂ x ∂ z = 1,0 , 0

O que facilita muito as coisas. Agora, lembrando que tinhamos encontrado que rot ⁡ G → = 1,1 , 1 , então jogando na nossa fórmula:

∬ D rot ⁡ G → ∙ N →   d A = ∬ D 1,1 , 1 ∙ 1,0 , 0 d A

⇒ ∬ D 1 d A = A r e a D

Mas D é o nosso domínio, que vimos que era a circunferência de raio 3 / 2 :

y 2 + z 2 = 3 4

Que tem área:

A r e a D = π r 2 = π . 3 4

E no final acabou que nem tivemos que fazer integral nenhuma, hein? Quem diria.. haha

Resposta

3 π 4

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