Seja C uma curva fechada simples suave inteiramente contida no plano x + y + z = 1 . Mostre que a integral de linha

∫ C z d x - 2 x d y + 3 y d z

depende unicamente da área da região R delimitada por C (e não da forma de C ou de sua posição no plano).

Passo 1

Nessa questão, pra a gente se salvar, entra nosso amigo Stokes. O teorema nos diz que se uma superfície R é orientada positivamente, o campo vetorial é definido em todo o domínio de integração e a fronteira C também for orientada positivamente, podemos afirmar que:

∬ R ( r o t F . n → ) d s =   ∮ C F   d r

Passo 2

Então vamos começar achando nosso rotacional

r o t F = ( 3,1 , - 2 )

Para o vetor, como a superfície contida no plano x + y + z = 1 , a região R possui norma unitária constante, por exemplo, igual a 1,1 , 1 .

Passo 3

Agora juntando o que a gente tem

∫ C z d x - 2 x d y + 3 y d z =   ∫ C F .   d r   =   ∬ R r o t ( F )   d s

∬ R 3,1 , - 2 . 1,1 , 1 d A =

2 ∬ R d A

Essa integral dupla não é nada mais do que a área de R

2 .   Á r e a ( R )

O que mostra que a integral de linha depente unicamente da Área da região R .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Use o teorema de Stokes para calcular ∬ S c u r lF → ⋅ d S . F → x , y , z = e x y cos ⁡ z i → + x 2 z j → + x y k → , S é o hemisfério x = 1 - y 2 - z 2 orientado na direção positiva do eixo x . (Sug
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