Use o teorema de Stokes para calcular a integral de linha

∮ C   z d x - 2 x d y + 3 y d z ,

E que C é a curva obtida pela intersecção do cilindro x 2 + y 2 = 1 com o plano x + y + z = 1 , orientada no sentido anti-horário quando vista por cima.

Passo 1

A primeira coisa que devemos aqui é entender geometricamente a curva que a gente quer aquela integral de linha.

Então, o próprio problema nos disse que a curva foi obtida através do cilindro e do plano, então vamos desenhar essas duas superfícies juntas e ver essa intersecção acontecer

Percebeu? A curva é essa daqui oh

Passo 2

Bem, agora que conhecemos a curva e nos foi dito para fazer utilizando o teorema de S t o k e s , precisamos selecionar uma superfície qualquer que tenha como borda, justamente essa curva.

Quem, podemos escolher?

Sim, o próprio plano azul!

Mas não vamos pegar o plano todo dessa vez, vamos pegar só que está dentro da curva, ou seja, o que está dentro do cilindro, veja só

Parametrizar essa superfície não será um grande problema para nós aqui, pois podemos parametrizar como uma parametrização explicita:

z = 1 - x - y

φ x ,   y = x ,   y ,   1 - x - y

Só devemos nos atentar a uma coisinha: Onde estão variando os limites?

Passo 3

Pois bem, para responder essa pergunta, vamos olhar para a projeção da superfície, no plano x y .

Olhar para a projeção, é olhar de cima para baixo, dessa forma aqui

E quando fazemos isso, logo observamos que os nossos parâmetros x e y de plano que a gente quer, varia dentro do cilindro de raio 1 .

Por uma questão de facilidade, vamos nomear essa região de variação circular de raio 1 do x e y de D .

Passo 4

Bem, agora vamos fazer o que o problema pediu e aplicar o teorema de S t o k e s :

∮ C   F d r → = ∬ S   r o t   F → ∙ n →   d S

Bem, então basta encontrar esses termos aí e substituir.

Vamos começar pelo rotacional!

Passo 5

Pela fórmula, sabemos que rotacional de um campo é

r o t   F = ∂ F 3 ∂ y - ∂ F 2 ∂ z ,   ∂ F 1 ∂ z - ∂ F 3 ∂ x ,   ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y

Onde F 1 , F 2 e F 3 são as coordenadas do campo vetorial que estamos trabalhando, ou seja

F 1 = z

F 2 = - 2 x

F 3 = 3 y

Calculando essas derivadas parciais então...

r o t   F = 3 - 0 ,   1 - 0 ,   - 2 - 0

r o t   F = 3 ,   1 ,   - 2

Passo 6

Quanto ao vetor normal, que também necessitamos

n →   d S = N →   d x d y

E esse vetor normal grandão aí, para encontra-lo, basta jogar na fórmula do bizuzão de quando temos parametrização em forma de uma função explícita z = z x ,   y , se lembra dela?

N → = - ∂ z ∂ x , -   ∂ z ∂ y ,   1

Nesse caso, como z = 1 - x - y

N → = - - 1 , - - 1 ,   1 =

( 1 ,   1 ,   1 )

Passo 7

Não podemos deixar de checar se estamos com o vetor normal correto, heim!

Mas para fazer isso, basta seguir o que o problema nos pediu, ou seja, a rotação na curva deve estar no sentido anti-horário quando vista de cima:

Pela regra mão direita, concluímos que o vetor normal deve

Ter coordenada z , positiva. Logo... Estamos com o vetor correto !

Passo 8

Voltando para o teorema de S t o k e s substituindo os caras que já determinamos

∬ S   r o t   F → ∙ n →   d S =

∬ D   3 ,   1 ,   - 2 ∙ 1 ,   1 ,   1 d x d y =

Calculando esse produto interno aí

∬ D   3 + 1 - 2 d x d y =

∬ D   2 d x d y =

Passando tirando esse 2 da integral...

2 ∬ D   d x d y

Epa! Quem é essa integral aí? É a área da região D ! :D

Como a região D é

um circulo de raio 1, sua área será π 1 2 = π , logo

2 ∬ D   d x d y = 2 π

Resposta

2 π

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