Considere um vidro cilíndrico quebrado sobre o plano x y de maneira que sua base se encontra no círculo x 2 + y 2 = 1 com a curva C de classe C 1 por partes e orientada no sentido anti-horário como na Figura 1 . Dado o campo vetorial

F → x , y , z = x z   i → + y z + x j → + e z 2 k →

Calcule ∫ C F → ∙ d r → .

Passo 1

Esses professores viajam, né? Começa a falar de vidro quebrado, que sei lá o que, pra no final pedir uma integral de linha, nada a ver... Mas a gente não pode fazer nada, vamos ver como que dá pra resolver essa questão.

A gente não tem a parametrização da curva e, como essa figura maluca aí, nem dá pra obtermos. Então não tem jeito, vamos ter que pensar num Stokes aí. O teorema diz que:

∫ ∂ S F → ∙ d r → = ∬ S rot ⁡ F → ∙ d S →

Mas como que vamos encontrar uma superfície que use C como fronteira se nem sabemos como é a curva direto?

Aí que ta o macete! Vamos usar esse cilindro aí da figura (sim, a historinha toda do vidro quebrado era só pra isso).

A única coisa que temos que ficar ligados é que o cilindro tem uma fronteira em cima, a curva C estranha, e outra embaixo, a sua base, que no enunciado ele diz que é o círculo x 2 + y 2 = 1 , e que vamos chamar de C 1 - porque ela deve ter orientação no sentido horário, já que C está no sentido anti-horário.

Então na verdade vamos ter:

∫ C F → ∙ d r → + ∫ C 1 - F → ∙ d r → = ∬ S rot ⁡ F → ∙ d S →

⇒ ∫ C F → ∙ d r → = ∬ S rot ⁡ F → ∙ d S → - ∫ C 1 - F → ∙ d r →

⇒ ∫ C F → ∙ d r → = ∬ S rot ⁡ F → ∙ d S → + ∫ C 1 F → ∙ d r →

Vamos ver se conseguimos calcular agora!

Passo 2

Vamos começar com o fluxo do rotacional, que pode ser calculado assim:

rot ⁡ F → = ∇ → × F → = i → j → k → ∂ x ∂ y ∂ z F 1 F 2 F 3

⇒ ∂ F 3 ∂ y - ∂ F 2 ∂ z i → - ∂ F 3 ∂ x - ∂ F 1 ∂ z j → + ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y k →

⇒ 0 - y i → - 0 - x j → + 1 - 0 k →

⇒ - y , x , 1

O que podia ser melhor, se fosse 0 nem precisariamos calcular a integral. Mas como não é, vamos usar a fórmula:

∬ S rot ⁡ ( F → ) ∙ d S → = ∬ D rot ⁡ F → ∙ n → u , v d A

Então vamos parametrizar a superfície. Temos um cilindro de raio 1 , a parametrização fica, simplesmente:

S : φ θ , z = cos ⁡ θ , sen ⁡ θ , z

E o normal:

n → = ∂ φ ∂ θ × ∂ φ ∂ z = i → j → k → - sen ⁡ θ cos ⁡ θ 0 0 0 1 = cos ⁡ θ , sen ⁡ θ , 0

Agora, a gente vai ter que rot ⁡ ( F → ) = - sen ⁡ θ , cos ⁡ θ ,   1 .

Repara agora que nem precisamos verificar se nosso vetor normal está na sentido certo, porque independente do sentido a integral vai dar zero! Se liga:

∬ D rot ⁡ F → ∙ n → u , v d A = ∬ D - sen ⁡ θ , cos ⁡ θ ,   1 ∙ ± cos ⁡ θ , ± sen ⁡ θ , 0 d A

⇒ ∬ D ∓ sen ⁡ θ cos ⁡ θ ± cos ⁡ θ sen ⁡ θ + 1 ∙ 0 d A

⇒ ∬ D 0 d A = 0

E por dar 0 não precisamos nem ver o domínio também!

Passo 3

Agora vamos ver a integral de linha da base lá. Vamos usar a fórmula:

∫ C 1 F → ∙ d r → = ∫ a b F → ∙ σ → ' t d t

C 1 é uma circunferência no plano x y , então vamos parametrizar assim:

C 1 : σ → t = cos ⁡ t , sen ⁡ t , 0 ,         0 ≤ t ≤ 2 π

O vetor tangente fica:

σ → ' t = - sen ⁡ t , cos ⁡ t , 0

E a integral:

∫ 0 2 π cos ⁡ t ∙ 0 , sen ⁡ t ∙ 0 + cos ⁡ t , e 0 2 ∙ - sen ⁡ t , cos ⁡ t , 0 d t

⇒ ∫ 0 2 π 0 + cos 2 ⁡ t + 0 d t

E se lembrarmos que cos 2 ⁡ t = 1 + cos ⁡ 2 t 2 :

∫ 0 2 π 1 + cos ⁡ 2 t 2 d t = 1 2 t │ 0 2 π + sen ⁡ 2 t 2 │ 0 2 π

⇒ π

Passo 4

Agora é só somar, como vimos na relação lá em cima:

∫ C F → ∙ d r → = ∬ S rot ⁡ F → ∙ d S → + ∫ C 1 F → ∙ d r →

⇒ 0 + π = π

E pronto, achamos o que ele pediu!

Resposta

π

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