Decida se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas, justificando. (aviso: resposta errada ou resposta certa sem justificativa receberá zero no item respectivo).

Seja F r = A × r , onde r = ( x , y , z ) e A = ( a , b , c ) é um vetor constante. Então

∮ C   F . d r = 2 ∬     A . n d S

Sendo C a curva fechada simples que limita uma superfície paramétrica orientada S , sendo n o vetor unitário normal a S conveniente.

Passo 1

Bom, vamos começar encontrando a expressão de F =

F r = A × r = i j k a b c x y z = b z - c y , c x - a z , a y - b x

Passo 2

Agora, vamos aplicar o Teorema de Stokes e tentar encontrar o outro lado da equação do enunciado.

Por Stokes, sendo S a superfície que tem como fronteira a curva C :

∮ C   F . d r = ∬ S   r o t   F . n → d S

Passo 3

Vamos, então, calcular r o t   F :

r o t   F = ∇ × F = i j k ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z b z - c y c x - a z a y - b x

r o t   F = a + a , b + b , c + c = 2 a , b , c = 2 A

Passo 4

Vamos substituir isso na fórmula:

∮ C   F . d r = ∬ S   2 A . n → d S = 2 ∬ S   A . n → d S

Logo, a afirmação é verdadeira.

Resposta

Verdadeira.

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