Use o teorema de Stokes para calcular a integral de linha

∮ C F ∙ d r

Em que F x , y , z = x 2 - y i + 4 z j + x 2 k e C é a curva da intersecção do plano z = 2 com o cone z = x 2 + y 2 , orientada no sentido anti-horário quando visto por cima.

Passo 1

Bem, aqui não tem muito o que pensar, isso porque ele disse para usar o teorema de Stokes. A primeira coisa a se lembrar do teorema de Stokes é que a curva dessa integral de linha precisa ser fechada. Vamos ver como é essa curva C , ela vai ser a intersecção do plano com o cone. Vamos ter

z = x 2 + y 2

z = 2

Substituindo o valor de z na equação do cone vamos ter

2 = x 2 + y 2

x 2 + y 2 = 4

Com

z = 2

Ou seja, é a circunferência de centro 0,0 , 2 e raio 2 que está no plano z = 2 .

Essa curva é fechada, então podemos aplicar o teorema de Stokes direto. Lembra como é o tal teorema? Vamos passar essa integral de linha para uma integral dupla, vai ser

∮ C F ∙ d r = ∬ S r o t F ∙ n → d S

Onde r o t F é o rotacional da nossa função F , S é a superfície que tem fronteira sendo C e n → é o vetor normal a essa superfície S .

Repara que a restrição é que a superfície S tenha fronteira sendo aquela circunferência que vimos ali em cima, então basta pegar a parte de dentro da circunferência como S , então

S = x , y , z ∈ R 3 z = 2 ; x 2 + y 2 ≤ 4

Passo 2

Já temos nossa superfície S , agora falta achar o rotacional da função F e o vetor normal a S , vamos começar com o rotacional

r o t F = i j k ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z x 2 - y 4 z x 2

r o t F = 0 - 4,0 - 2 x , 0 - - 1

r o t F = - 4 , - 2 x , 1

Passo 3

Vamos agora ao vetor n →

Repara que a nossa superfície S está contida no plano z = 2 , então o vetor normal ao plano também será normal a superfície S , vamos fazer

f x , y , z = z - 2

O vetor normal ao plano vai ser

n → = ∇ f = f x , f y , f z

n → = 0,0 , 1

A ideia geral seria parametrizar S e depois fazer aquele produto vetorial muito grande, mas fica atento que as vezes é melhor tentar achar o normal antes de parametrizar, nesse caso como está em um plano é de boa de fazer esse vetor normal, então fica atento a esses momentos, mas ia dar certo se fizesse a conta na mão, a conta só ia ficar maior.

Passo 4

Juntando nosso rotacional com o vetor normal nossa integral dupla vai ficar

∬ S r o t F ∙ n → d S = ∬ S - 4 , - 2 x , 1 ∙ 0,0 , 1 d S =

∬ S d S

Isso por acaso é a área da Região S que é um círculo de raio 2

Então

∬ S r o t F ∙ n → d S = ∬ S d S = 2 2 π = 4 π

Resposta

4 π

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