Exercícios Resolvidos de Teorema de Stokes

Diomara Pinto e Maria Cândida Ferreira Morgado, Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis, 3ª ed. Rio de Janeiro: UFRJ, 2009, pp. 293 - 5.

Use o teorema de Stokes para mostrar que a integral de linha é igual ao valor dado, indicando a orientação da curva C .

∮ C   8 x - 2 y d x + y d y + 3 z d z = 4 3

onde C é a fronteirado triângulo equilátero situado no plano - 3 x + 3 z + 6 = 0 de vértices P = 2,2 , 0 ,   Q = ( 2,6 , 0 ) e R = ( 2 + 3 , 4,3 )

Passo 1

Primeiro devemos encontrar a função vetorial em questão e o seu rotacional. Temos que F → = ( 8 x - 2 y ,   y ,   3 z ) e o rotacional pode ser calculado por:

∇ ×   F → = i j k ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z F 1 F 2 F 3

∇ ×   F → = ( 0 ,   0 ,   2 )

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Passo 2

Agora vamos encontrar a normal a superfície, esta superfície pode ser parametrizada de forma explícita como:

z = f x , y = 3 x - 6 3

Assim,

N → x , y = - ∂ f ∂ x x , y ,   - ∂ f ∂ y x , y ,   1

N → x , y = - 3 3 ,   0 ,   1

Passo 3

Vamos aplicar o teorema de Stokes ∮ ∂ S   F → . d r = ∬ S   ∇ ×   F → . n → d S = ∬ S   ∇ ×   F → . N → d x d y

Substituindo pelo rotacional e pela normal que calculamos, temos:

∬ S   ∇ ×   F → . N → d x d y =   ∬ S   0,0 , 2 . - 3 3 ,   0 ,   1 d x d y = ∬ S   2 d x d y

Mas, ∬ S   2 d x d y , representa o dobro da área da superfície projetada no plano x y . Não confunda isso! Quando temos “ d x d y ” ali do lado, estamos falando de tudo no plano x y já, beleza?

Passo 4

O último passo é calcular a área da superfície! Sorte nossa que é um triângulo! Esse aqui é o triângulo original da questão, ele está em 3 D :

R = 2 + 3 , 4,0

Precisamos projetar ele no plano x y pra calcular a área, mas isso é simples: só zerar os termos em z . No caso fica assim

R ' = 2 + 3 , 4

P = 2,2

Q = 2,6

O lado P Q tem medida igual a 4 pois os dois pontos estão no plano x y e sobre a reta x = 2 , então a distância entre eles é a diferença entre a coordenada y .

A altura aqui também está sobre a reta y = 4 , portanto o seu tamanho vai ser dado pela diferença nas coordenadas de x , logo h = 2 + 3 - 2

h = 3

Logo, a área do triângulo é:

A = b h 2

A = 4 . 3 2 = 2 3

Então,

2 A = 4 3

E aproveitando a imagem aí em cima e sabendo que a normal que escolhemos aponta para o x negativo, nós temos a orientação da curva C ! Que no caso é Q → P → R → Q .

Resposta

Assim, a integral de linha do camp F → definido no enunciado é dada por:

∮ C   F → . d r = 2 A = 4 3

E a orientação usada foi Q → P → R → Q

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