Use o Teorema de Stokes para calcular ∫ ∫ r o t   F ∙ d S ,   onde F x , y , z = x y z i + x y j + x 2 y z k e S é formado pelo topo e pelos quatro lados (mas não pelo fundo) do cubo com vértices ( ± 1 ,   ± 1 , ± 1 ) , com orientação para fora.

Passo 1

Beleza meu parceiro?! Espero que sim pois agora é hora de resolvermos essa integral. A curva C é um quadrado no plano z =   - 1 , assim, pela formula 3 temos:

∬ c u r l   F ∙ d S 1 = ∬ c u r l   F ∙ d S 2

Onde S 1 é o nosso cubo original, sem o fundo e S 2 é apenas o fundo. Sendo assim, iremos escolher para integrar a superfície mais facil.

Passo 2

Calculando a rotacional de F

∇   x   F = i j k ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z x y z x y x 2 y z = x 2 z , x y - 2 x y z ,   y - x z

Coo z =   - 1

∇   x   F = - x 2 , 3 x y ,   y + x

Passo 3

O vetor normal tem a mesma orientação que k , no sentido anti-horário visto de cima. Assim o produto escalar entre ∇ x F e k fica:

∇ x F ∙ k = x + y

O próximo passo é encontrarmos a região de integração, os nossos limites no plano xy,

- 1 ≤ x ≤ 1

- 1 ≤ y ≤ 1

Agora colocando tudo na nossa integral:

∫ ∫ S c u r   F ∙ d S = ∫ - 1 + 1 ∫ - 1 + 1 x + y d x d y = ∫ - 1 + 1 x 2 2 + y x 1 + 1 d y = ∫ - 1 + 1 [ 1 2 + y - ( - 1 2 2 - y ) ] d y

= ∫ - 1 + 1 [ 2 y ] d y = y 2 - 1 1 = 0

E calculamos isso tudo para depois descobrirmos que deu 0.

Resposta

0

Exercícios de Livros Relacionados

Uma partícula se move ao longo dos segmentos de reta da origem aos pontos 1,0 , 0 ,1,2 , 1 ( 0,2 , 1 ) e de volta para a origem sob a influência do campo de forças F → = z 2 i → + 2 x y j → + 4 y 4 k
Use o teorema de Stokes para calcular ∬ S c u r lF → ⋅ d S . F → x , y , z = x 2 z 2 i → + y 2 z 2 j → + x y z k → , S é a parte do paraboloide z = x 2 + y 2 que está dentro do cilindro x 2 + y 2 = 4
Verifique se o Teorema de Stokes é verdadeiro para o campo vetorial dado F → e a superfície S . F → = y i → + z j → + x k → , S é o hemisfério x 2 + y ² + z ² = 1 ² ² , y ≥ 0 , orientado na direção po
Use o teorema de Stokes para calcular ∬ S c u r lF → ⋅ d S . F → x , y , z = e x y cos ⁡ z i → + x 2 z j → + x y k → , S é o hemisfério x = 1 - y 2 - z 2 orientado na direção positiva do eixo x . (Sug
Use o teorema de Stokes para calcular ∫ C F → ⋅ d r → . Em cada caso, C é orientada no sentido anti-horário quando vista de cima. F → x , y , z = y z i → + 2 x z j → + ( e x y ) k → , C é a circunferê