Considere o campo vetorial definido por

F   → = y z , x z , x y - z , x , 0

Determine o valor da constante a ∈ R para qual

∫ C F   → . d r → = 0

ao longo de qualquer curva C fechada no plano a y + z = 10 .

Passo 1

Vamos dividir o nosso problema em duas partes:

∫ C F   → . d r → = ∫ C G   → . d r → - ∫ C H   → . d r →

Onde:

G = y z , x z , x y

H = z , x , 0

Passo 2

Vamos começar calculando o rotacional para cada uma delas:

r o t G   → = i j k ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z G 1 G 2 G 3 = i j k ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z y z x z x y

r o t G   → = ( 0,0 , 0 )

r o t H   → = i j k ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z H 1 H 2 H 3 = i j k ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z z x 0

r o t H   → = ( 0,1 , 1 )

Como G   → é um campo conservativo, a integral de linha sobre uma curva fechada será igual a zero.

Para H   → vamos usar o Teorema de Stokes.

Passo 3

∫ C H   → . d r → = ∬ S r o t   H → . n →   d s

Já calculamos r o t ( H   → ) , para o vetor normal, usamos a própria equação do plano.

a y + z = 10

n   → = ( 0 , a , 1 )

Para normalizar, dividimos n   → por n → .

n ^ = n   → n → = 1 a 2 + 1 ( 0 , a , 1 )

Passo 4

Substituindo na integral

∫ C F   → . d r → = - ∫ C H   → . d r → = - ∬ S 1 a 2 + 1 0,1 , 1 . 0 , a , 1   d s

∫ C F   → . d r → = - ∬ S a + 1 a 2 + 1   d s

∫ C F   → . d r → = 0

Então, a única chance da integral de linha ser igual a zero é se

a = - 1

Resposta

a = - 1

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