Use o Teorema de Stokes para calcular

∫ C F   d r

, onde C é o triangulo com vértices (1,0,0), (0,1,0) e (0,0,1) orientado no sentido anti-horário quando vista de cima e F x , y , z = x + y 2 ,   y + z 2 ,   z + x 2 .

Passo 1

Stokes nos diz que:

Onde:

r o t F = ( - 2 z , - 2 x , - 2 y )

Passo 2

Bom, agora o ideal é a gente encontrar o vetor normal a esse triangulo. Presta atenção nesse passo: Se a gente tem 3 pontos, podemos descobrir dois vetores e com isso calcular o vetor ortogonal ao mesmo tempo aos dois vetores.

p 1 = 1,0 , 0

p 2 = 0,1 , 0

p 3 = ( 0,0 , 1 )

Fazendo o vetor P → 21

p 2 - p 1 = 0,1 , 0 - 1,0 , 0 = ( - 1,1 , 0 )

Agora o vetor P → 31

p 3 - p 2 = 0,0 , 1 - 1,0 , 0 = ( - 1,0 , 1 )

Fazendo então o produto vetorial entre eles, descobrindo assim o vetor ortogonal a eles, que também é normal ao plano que estamos procurando.

P → 21   ×   P → 31 = i j k - 1 1 0 - 1 0 1 = ( 1,1 , 1 )

Passo 3

Agora que nós temos o vetor normal ao plao e pontos contidos nele, a gente consegue descobrir a equação do plano.

x - 1 ,   y - 0 ,   z - 0 . 1,1 , 1 = 0

x - 1 + y + z = 0

Isolando z:

z = 1 - x - y

Parametrizando esse plano ficamos com:

r x , y = ( x , y , 1 - x - y )

Passo 4

Vamos então agora substituir nossa parametrização no r o t F ,   pra poder resolver a integral e garantir esse pontinho dessa questão.

∬ D r o t   F ( r ) N d A

→ r o t F = - 2 z , - 2 x , - 2 y → r o t F r = - 2 ( 1 - x - y ,   x , y )

Colocando tudo na integral

∬ D - 2 - x - y + 1 , x , y 1,1 , 1   d A

- 2 ∬ D 1   d A

Isso não é nada mais que a área!

- 2 .   A D =   - 2 . 1 2

- 1

Resposta

- 1

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