Seja S a parte do paraboloide z = x 2 + y 2 que se encontra dentro do cilindro x 2 + y 2 = 4 , orientado para cima.

a) Esboçar a superfície S .

b) Considere o campo vetorial F x , y , z = x 2 z 2 , y 2 z 2 , x y z , usando o Teorema de Stokes, calcular

∫ δ S F d r

Passo 1

a) Fala! Vamos esboçar essa bonita

z = x 2 + y 2

Isso é um paraboloide elíptico virado para cima que começa na origem. Mas ele está dentro do cilindro:

x 2 + y 2 = 4

Esse cilindro tem raio 2 , e está centrado na origem. Se a gente desenhar essas duas coisinhas no mesmo espaço:

Passo 2

Se S é a parte do paraboloide dentro do cilindro, a fronteira de S , será essa circunferência preta paralela a x y , que é a interseção dele com o cilindro.

Como é essa curva? A projeção dela no plano x y vai ser dada pela mesma equação do cilindro, e para descobrir a altura em que ela está, a gente calcula o z da interseção entre:

z = x 2 + y 2 ,     x 2 + y 2 = 4

Nossas superfícies. Daí a gente tira que

z = 4

Agora, para esboçar S finalmente, a gente desenha um paraboloide que vai até a altura z = 4 . Fica assim:

Passo 3

b) Cara, ele pediu para a gente calcular uma integral de linha sobre essa fronteira de S , usado o Teorema de Stokes.

Falou de Stokes, primeira coisa a fazer é calcular o rotacional do nosso campo! Ele tem essa fórmulinha:

r o t   F → = i ^ j ^ k ^ ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z F 1 F 2 F 3

Nosso campo é:

F = F 1 , F 2 , F 3 = x 2 z 2 , y 2 z 2 , x y z

Então precisamos calcular:

r o t   F → = i ^ j ^ k ^ ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z x 2 z 2 y 2 z 2   x y z

r o t   F → = ∂ x y z ∂ y - ∂ y 2 z 2 ∂ z i ^ - ∂ x y z ∂ x - ∂ x 2 z 2 ∂ z j ^ + ∂ y 2 z 2 ∂ x - ∂ x 2 z 2 ∂ y k ^

r o t   F → = ( x z - 2 y 2 z ) i ^ - y z - 2 x 2 z j ^ + 0 - 0 k ^

r o t   F → = x z - 2 y 2 z , - y z + 2 x 2 z ,   0

Com esse carinha calculado, vamos seguir! Vem comigo!

Passo 4

O Teorema de Stokes diz que:

∫ δ S F → ⋅ d r → = ∫ ∫ S r o t   F ⋅ n → d s

δ S é a nossa circunferência paralela ao plano x y , de raio 2 e que está na altura z = 4 . Ela é curva que é fronteira da nossa superfície S , o paraboloide.

Aquele S ali é a superfície de qual a nossa curva é fronteira. E a gente super pode usar o paraboloide mesmo, porque ele é limitado pela fronteira δ S , tá bem?

Maaaas, a gente não precisa usar ele. Como assim? Cara, esse S do Teorema pode ser qualquer superfície que tenha nossa circunferência como fronteira, não necessariamente o paraboloide. E isso pode facilitar nossa vida!

A gente vai precisar calcular uma integral de superfície, então faz sentido escolher uma superfície mais simples. Que tal um plano? Nossa, ótima ideia!

Como nossa curva é paralela ao plano x y , ela está contida num plano paralelo a ele. Vimos que esse é o plano z = 4 .

Mas ele precisa estar dentro da nossa circunferência. Então a nossa superfície S para o Teorema vai ser uma espécie de círculo de raio 2 na altura z = 4 .

Aí a gente reescreve nossa equação assim:

∫ δ S F → ⋅ d r → = ∫ ∫ c í r c u l o r o t   F ⋅ n → d s

Então a ideia é que a gente só precisa montar e calcular a integral da direita, para então achar o valor da esquerda. Maneiro, né?

Passo 5

Maaas a gente precisa atender a alguns critérios para podermos aplicar esse teorema antes de começar:

1. Nossa fronteira precisa estar orientada positivamente em relação a superfície.

Como a gente tem uma circunferência e um plano dentro dela, tudo o que a gente precisa é essa circunferência seja percorrida no sentido anti-horário, e que o vetor normal ao plano esteja virado para cima.

Por que? Ao percorrer essa curva com a cabeça no sentido do vetor normal e olharmos para a esquerda, precisamos estar vendo a superfície que limitamos (o plano). E isso acontece nessa situação.

Tipo nesse caso genérico. Vemos isso pela regra da mão direita.

2. O campo precisa estar bem definido para o domínio de integração. Olha ele:

F x , y , z = x x 2 z 2 , y 2 z 2 , x y z

Não tem nenhum ponto de descontinuidade aí né (nenhum denominador que possa zerar ou algo assim). Então a gente pode confiar que ele está bem definido para o nosso domínio de integração, já que ele está bem definido para todos os valores de x , y , z .

Então, tá belezinha, a gente pode usar o teorema sem preocupações. Bora lá!

Passo 6

Vamos começar parametrizando o plano dentro da circunferência, porque estamos montando uma integral de superfície.

A gente pode parametrizar ele assim:

φ x , y = x , y , 4

A componente dele em z é 4 porque ele está em z = 4 no espaço.

E já que ele está limitado pela circunferência que tem projeção em x y dada por x 2 + y 2 = 4 , a gente pode escrever que nosso domínio é:

D :   x 2 + y 2 ≤ 4

Como esse é o domínio da parametrização, também será o domínio da nossa integral.

Passo 7

Depois a gente precisa calcular nosso vetor normal.

Mas repara que esse plano é paralelo ao x y . O vetor normal a todo o x y é o vetor N → = 0,0 , 1 , que é o sentido do eixo z , certo? Então ele também vai ser normal ao nosso plano!

N → = 0,0 , 1

Repara que a componente z do nosso vetor é sempre positiva, então ele está virado para cima como queremos.

Passo 8

Com isso, a gente consegue montar a integral:

∫ ∫ c í r c u l o r o t   F ⋅ n → d s

Vimos que

φ x , y = x , y , 4

D : x 2 + y 2 ≤ 4

n → = N → = 0,0 , 1

r o t   F → = x z - 2 y 2 z , - y z + 2 x 2 z ,   0

A integra fica:

∫ ∫ c í r c u l o x z - 2 y 2 z , - y z + 2 x 2 z ,   0 ⋅ 0,0 , 1 d s

Passo 9

Calculando esse produto escalar,

∫ ∫ c í r c u l o 0 + 0 + 0 d s = 0

Ih olha só, se essa integral zera, então:

∫ δ S F → ⋅ d r → = ∫ ∫ c í r c u l o r o t   F ⋅ n → d s

∫ δ S F → ⋅ d r → = 0

Usar outra superfície ajudou tanto que a gente nem precisou calcular a integral da forma completona. Legal, né?

Resposta

a)

b) ∫ δ S F → ⋅ d r → = 0

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