25) Calcule

∮ C   F → ⋅ d r →

Sendo

F → x ,   y ,   z = y z + z ,   x z + e - y ,   x y + e - z

E C a curva intersecção das superfícies x 2 + y 2 = 4 e z = y + 3 , orientada no sentido anti-horário quando projetada no plano x y .

Passo 1

Uma integral de linha como essa a gente sabe que tem dois meios basicamente que podemos resolver:

1º - Resolver pelo método diretão.

2º - Resolver pelo teorema de Stokes.

Pow, queremos uma integral de linha de um campo nada bonito sobre uma curva também não muito bonita (mesmo sem saber quem ela é a gente já pode perceber que ela não é algo trivial). Isso já é um indício de que o melhor caminho seguirmos é o teorema de Stokes.

Mas se você quer uma prova mais visual podemos calcular o Rotacional de F → ...

r o t   F → = ∂ F 3 ∂ y - ∂ F 2 ∂ z ,   ∂ F 1 ∂ z - ∂ F 3 ∂ x ,   ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y

Como

F → x ,   y ,   z = y z + z ,   x z + e - y ,   x y + e - z       →

Então...

r o t   F → = x - x ,   y + 1 - y ,   z - z →

r o t   F → = 0 ,   1 ,   0

Pow, com um rotacional desse é a prova visual de que Stokes pode ser bem mais elegante, saca?

Passo 2

Tão tá bom sabemos que Stokes pode resolver o problema, mas o que ele fala mesmo? Bem basicamente ele iguala a integral de linha com uma de superfície dessa forma aqui:

∫ C   F → ⋅ d r → = ∬ S   r o t   F → ⋅ n →   d S

Assim, ao invés de termos que calcular uma integral de linha, podemos calcular uma integral de superfície 😉!

Porém Stokes não é só isso! Se não taria muito bom, ne? Para aplicar a igualdade entre as integrais antes devemos averiguar as condições desse Teorema, que nos pede basicamente três coisas:

1º - Uma curva fechada C delimitando uma superfície S .

2º - Sem singularidades na função Vetorial.

3º - Superfície orientada positivamente.

Vamos passar por cada um deles e verificar se satisfazem ou não 😊!

Passo 3

A curva C dada no problema é a intersecção do cilindro x 2 + y 2 = 4 ...

Com um plano z = y + 3 (paralelo ao x )

Veja aqui a curva C na intersecção!

Essa curva delimita várias superfícies, mas uma mais simples que a você deve ter notado é a que está no próprio plano (um disquinho deitado).

Bem, a essa superfície daremos um nome hiper carinhoso de S (superfície S 😊)

Passo 4

A outra condição é:

2º - Sem singularidades na função Vetorial.

Ora, sim! Basta ver o campo F →

F x ,   y ,   z = y z + z ,   x z + e - y ,   x y + e - z

Para você perceber que o campo não tem nenhum bug ou singularidade, como uma divisão por 0 em algum ponto ou algo assim.

Passo 5

3º - Superfície orientada positivamente.

Aqui o que temos que fazer é garantir que o conjunto curva-superfície esteja orientadas positivamente, ou seja, como a projeção da curva no x y gira no senti anti-horário, então a curva também gira:

Pela regra da mão direita temos que ter um vetor normal pra cima na superfície

Agora elas estão sim orientadas positivamente, saca?

Passo 6

Com as condições averiguadas e sendo satisfeitas, podemos aplicar a igualdade numa nice:

∫ C   F → ⋅ d r → = ∬ S   r o t   F → ⋅ n →   d S

Para calcular a integral de superfície, precisamos:

1º - Parametrizar a superfície S .

2º - Encontrar o termo n →   d S .

Bora?

Passo 7

Para parametrizar a superfície saca só: estamos em cima de um plano...

z = y + 3

Então podemos parametrizar de forma explícita, pois o x é um cara livre (parâmetro) e z depende de y que também é um cara livre...

σ x ,   y = x ,   y ,   y + 3

Agora esses parâmetros x y estão variando dentro do cilindro que é quem delimita o plano z = 1 ...

Então por hora, vamos apenas falar que o x e o y estão variando dentro da região circular de raio 2 que é o mesmo raio do cilindro...

x ,   y ∈ D

A gente até poderia usas as polares e descrever x e y , mas a gente não pode perder o foco neh? Depois a gente faz isso então.

Passo 8

Para o termo n →   d S ...

n → d S = N →   d x d y

Onde o N → é fácil de se obter pelo macete de parametrização por gráfico de função z x ,   y ...

z x ,   y = y + 3

N → = - ∂ z ∂ x ,   - ∂ z ∂ y ,   1 →

N → = 0 ,   - 1 ,   1

Ahhhh! Veja que esse vetor normal atende lá as condições de termos o vetor normal pra cima. Se não atendesse era só inverter o sinal ;D

Então...

n → d S = 0 , -   1 ,   1   d x d y

Passo 9

Jogando esses dados então na integral de superfície...

∬ S   r o t   F → ⋅ n →   d S = ∬ D   0 ,   1 ,   0 ⋅ 0 , -   1 ,   1   d x d y =

∬ D   - 1   d x d y

Agora sim estamos falando de uma integral dupla onde D é o círculo de raio 2 .

Como a integral de um d x d y é a área de D ...

- ∬ D     d x d y = - á r e a D = - π 2 2

- 4 π

Então por Stokes...

∮ C   F → ⋅ d r → = - 4 π

Resposta

- 4 π

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