Questão 2: Use o Teorema de Stokes para calcular

∬ S   r o t F ⋅ n →   d S

Onde F x ,   y ,   z = 2 y cos ⁡ z ,   e x sin ⁡ z ,   x e y e o hemisfério x 2 + y 2 + z 2 = 9 , z ≥ 0 , com orientação ascendente.

Passo 1

Pelo próprio problema, temos que transformar a integral de superfície em uma integral de linha. Ora! O teorema de Stokes já nos dá essa igualdade:

∬ S   r o t   F → ⋅ n →   d S = ∫ C   F → ⋅ d r →

Agora, para aplicar essa igualdade existem algumas restrições que precisamos ter cuidado:

1º - Uma curva fechada C delimitando uma superfície S .

2º - Sem singularidades na função Vetorial.

3º - Superfície orientada positivamente.

Vamos passar por cada um deles e verificar se satisfazem ou não 😊!

Passo 2

Bem, a superfície que ele nos deu é uma esfera de raio 3 ( x 2 + y 2 + z 2 = 9 )

Mas a última restrição é que queremos só a parte de cima, afinal, temos um z ≥ 0 . Então eis a superfície S (O hemisfério norte):

Passo 3

Muito bem, veja que essa superfície tem uma borda que chamaremos de curva C , e essa curva é uma circunferência que está destacada em vermelho escuro:

Para sabermos a equação dessa circunferência, basta pegar as duas equações e resolver o sistema...

x 2 + y 2 + z 2 = 9   z = 0         →

x 2 + y 2 + 0 2 = 9       →      

x 2 + y 2 = 9

Logo, se trata de uma circunferência de raio 3 , pois x 2 + y 2 = 9 , e que está em cima do plano z = 0 (ou o plano x y , como preferir ).

Passo 4

As outras duas condições do problema nos pedem que tenhamos:

2º - Sem singularidades na função Vetorial.

Ora, sim! Basta ver o campo F →

F x ,   y ,   z = 2 y cos ⁡ z ,   e x sin ⁡ z ,   x e y

Para você perceber que o campo não tem nenhum bug ou singularidade, como uma divisão por 0 em algum ponto ou algo assim.

3º - Superfície orientada positivamente.

Aqui o que temos que fazer é garantir que o conjunto curva-superfície estejam orientadas positivamente. Pow, como o vetor n → aponta pra cima (o próprio problema nos disse isso quando disse orientação ascendente):

Pela regra da mão direita temos que ter uma curva girando no sentido anti-horário quando vista de cima:

Agora elas estão sim orientadas positivamente, saca?

Passo 5

Com a as três condições de boa, podemos aplicar a igualdade sem problema algum:

∬ S   r o t   F → ⋅ n →   d S = ∫ C   F → ⋅ d r →

Para resolver a integral de linha pelo método direto que conhecemos, façamos:

1º - Parametrizar a curva C .

2º - Encontrar d r → .

3º - Encontrar F → em termos da parametrização.

Passo 6

Como vimos, a curva C é uma circunferência de raio 3 que está em cima do plano z = 0 ... Essa circunferência como vimos tem equação...

x 2 + y 2 = 9

Então por semelhança com equação fundamental sin 2 ⁡ t + cos 2 ⁡ t = 1 ...

x = 3 cos ⁡ t

y = 3 sin ⁡ t

O z da curva é bem conhecido...

z = 0

Logo a parametrização escrita de uma forma mais elegante é...

γ t = 3 cos ⁡ t , 3 sin ⁡ t ,   0

Onde t dá uma volta completa girando de 0 ° até 360 ° , formando à curva redonda completa, saca?

0 ≤ t ≤ 2 π

Passo 7

A nossa segunda tarefa é determinar o termo d r → ...

d r → = γ ' t d t →

γ t = 3 cos ⁡ t , 3 sin ⁡ t ,   0                       →                     γ ' t = - 3 sin ⁡ t , 3 cos ⁡ t ,   0

Aqui só tem um detalhe muito importante. Para onde a curva gira com essa parametrização? Ora, essa e uma parametrização clássica onde a curva gira sempre no sentido anti-horário quando vista de cima:

Ai então eu te pergunto, é isso que a gente quer? Sim! Isso já acontece, então nem vamos ter que alterar nada...

d r → = - 3 sin ⁡ t , 3 cos ⁡ t ,   0 d t

Sacou? Fique atento a isso! 😉

Passo 8

Como terceira e última tarefa antes de integrar tudo, só temos que transformar o campo F → ...

F → x ,   y ,   z = 2 y cos ⁡ z ,   e x sin ⁡ z ,   x e y    

Como γ t = 3 cos ⁡ t , 3 sin ⁡ t ,   0 ...

F → γ t = 2 3 sin ⁡ t ,   0,3 cos ⁡ t e 3 sin ⁡ t   →

F → γ t = 6 sin ⁡ t ,   0,3 cos ⁡ t e 3 sin ⁡ t   →

Passo 9

Jogando tudo na integral de linha...

∫ C   F → ⋅ d r → = ∫ 0 2 π 6 sin ⁡ t ,   0,3 cos ⁡ t e 3 sin ⁡ t ⋅ - 3 sin ⁡ t , 3 cos ⁡ t ,   0 d t   →

Calculando o produto escalar...

- ∫ 0 2 π 18 sin 2 ⁡ t d t =

Integrando essa parada lembrando que

sin 2 ⁡ t = 1 2 - cos ⁡ 2 t 2

- 18 ∫ 0 2 π 1 2 - cos ⁡ 2 t 2 d t =

- 18 1 2 t - sin ⁡ 2 t 4 0 2 π = - 18 π

Resposta

- 18 π

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