Use o teorema de Stokes para calcular a integral

∬ S r o t   F ∙ n → d S

Em que F x , y , z = - y i + x j + x 2 k , e S é o cilindro x 2 + y 2 = a 2 , 0 ≤ z ≤ 2 , junto com o seu topo x 2 + y 2 ≤ a 2 , z = 2

Passo 1

Bem, aqui ele pediu para usar o teorema de Stokes para calcular aquela integral, o teorema de Stokes transforma aquela integral em uma integral de linha ao longo de F , mas para poder usar o teorema de Stokes devemos entender a fronteira de S primeiro, vamos dar uma olhada como é S .

Temos um cilindro

x 2 + y 2 = a 2

Ele tem base sendo uma circunferência de raio a , e vai de z = 0 até z = 2 , beleza? Além disso ele completou com a tampa, ou seja o circulo x 2 + y 2 ≤ a 2 em z = 2 , então repara que esse cilindro não tem a base, isso nos diz que a fronteira dessa superfície S é a circunferência

x 2 + y 2 = a 2

Com z = 0

Então

C = ∂ S = x , y , z ∈ R 3 z = 0 , x 2 + y 2 = a 2

Passo 2

Agora vamos ver o que o teorema de Stokes faz com aquela integral de superfície

∬ S r o t   F ∙ n → d S = ∫ C F ∙ d r

Onde C é aquela curva que identificamos no fim do passo 1

Para resolve essa integral de linha devemos parametrizar essa circunferência primeiro, repara que temos

x 2 + y 2 = a 2

Então vamos fazer

x = a cos ⁡ θ

y = a sen ⁡ θ

E ele vimos que z = 0 , além disso, vamos rodar essa circunferência toda, então

θ ∈ 0,2 π

Isso nos diz que nossa parametrização vai ser

σ θ = a cos ⁡ θ , a sen ⁡ θ , 0

Com θ ∈ 0,2 π

Passo 3

Vamos agora achar a derivada dessa parametrização

σ ' θ = - a sen ⁡ θ , a cos ⁡ θ , 0

Passo 4

Nossa integral vai ficar

∫ C F ∙ d r = ∫ 0 2 π F σ θ ∙ σ ' θ d θ =

∫ 0 2 π - a sen ⁡ θ , a cos ⁡ θ , a cos ⁡ θ 2 ∙ - a sen ⁡ θ , a cos ⁡ θ , 0 d θ =

∫ 0 2 π a 2 sen 2 ⁡ θ + a 2 cos 2 ⁡ θ + 0 d θ =

∫ 0 2 π a 2 sen 2 ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ d θ =

∫ 0 2 π a 2 d θ =

a 2 2 π - 0 =

2 π a 2

Resposta

2 π a 2

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