(Cap.16.8 - Exercício 4) Use o Teorema de Stokes para calcular ∬ S ∇ → × F → ⋅ d S → . F → x , y , z = t g − 1 x 2 y z 2 i ^ + x 2 y j ^ + x 2 z 2 k ^

0 ≤ x ≤ 2 , o r i e n t a d o   n a   d i r e ç ã o   d o   e i x o   x   p o s i t i v o

Passo 1

Oiii pessoal!! Vamos pra mais um exercício do teorema de Stokes.

Vamos começar calculando o rotacional do campo F → :

∇ × F → = i →   j →   k →   ∂ ∂ x   ∂ ∂ y   ∂ ∂ z   t g − 1 x 2 y z 2   x 2 y   x 2 y z   = i → ∂ ∂ y x 2 z 2 − ∂ ∂ z x 2 y + j → ∂ ∂ z t g − 1 x 2 y z 2 − ∂ ∂ x x 2 z 2 + k → ∂ ∂ x x 2 y − ∂ ∂ y t g − 1 x 2 y z 2

∇ × F → = ⟨ 0 , 2 z 1 + x 2 y z 2 − 2 x z 2 , 2 x y − x 2 z 2 1 + x 2 y z 2 ⟩

Passo 2

Gente, o vetor normal tem a orientação do eixo x positivo, então esse vetor é:

n → = ⟨ 1,0 , 0 ⟩

Feito!

Passo 3

Agora vamos calcular o produto escalar entre os vetores dos passos 1 e 2 para que o vetor encontrado tenha orientação do eixo x:

⟨ 0 , 2 z 1 + x 2 y z 2 − 2 x z 2 , 2 x y − x 2 z 2 1 + x 2 y z 2 ⟩ ⋅ ⟨ 1,0 , 0 ⟩ = 0

Passo 4

Poxa vida! Esse produto escalar era nosso integrando! Como o resultado deu zero, toda a integral vai ser zero! Sendo assim:

∬ S ∇ → × F → ⋅ d S → = 0

Beleza?

Resposta

0

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