Calcule ∫ ∫ S ( r o t   F → ) ⋅ N →   d S sendo:

( b ) F → ( x , y , z ) = ( x z ,   x - y ,   x 2 y ) e S formada pelas 3 faces, que não estão no plano x y , do tetraedro formado pelos planos coordenadas e o plano 3 x + y + 3 z = 6 , sendo N → o campo normal exterior ao tetraedro.

Passo 1

Eaew, belezinha?

Precisamos calcular a integral de superfície

∫ ∫ S r o t (   F → ) ⋅ N →   d S

em que o campo vetorial é dado por

F → ( x , y , z ) = ( x z ,   x - y ,   x 2 y )

O campo vetorial é relativamente simples, e temos que parametrizar uma curva que seja fronteira da região indicada será complicado! Portanto, vamos usar a definição de integral de fluxo para calcular a integral desejada! Saca só!

Passo 2

Temos que o nosso tetraedro é o seguinte

como temos três faces a se considerar, eu as indiquei com os vetores normais n 1 → , n 2 → e n 3 → . A integral de superfície deve ser considerada individualmente para cada uma dessas faces, portanto, iremos ter que calcular

∫ ∫ S ( r o t   F → ) ⋅ N →   d S = ∫ ∫ S 1 r o t ( F → ) ⋅ n 1 → d S + ∫ ∫ S 2 r o t ( F → ) ⋅ n 2   → d S + ∫ ∫ S 3 r o t ( F → ) ⋅ n 3 → d S

Normalmente esse seria um trabalho bastante penoso! Mas nossos vetores normais são facilmente identificáveis! Saca só!

Passo 3

Temos que as faces S 1 e S 2 são os planos x = 0 e y = 0 . Olhando a figura que apresentei é bastante simples identificar que suas componentes são

n 1 → = ( - 1,0 , 0 ) e n 2 → = ( 0 , - 1,0 )

Para o vetor normal que falta podemos usar a equação geral do plano dada

3 x + y + 3 z = 6

da qual podemos identificar que o vetor normal ao plano é simplesmente

n 3 → = ( 3,1 , 3 )

Todos eles apontam para fora da superfície! Portanto, são adequados para o que queremos fazer! Vamos calcular agora o rotacional do campo vetorial!

Passo 4

Temos que o rotacional pode ser calculado usando a definição

r o t ( F → ) = ( ∂ F z ∂ y - ∂ F y ∂ z , ∂ F x ∂ z - ∂ F z ∂ x , ∂ F y ∂ x - ∂ F x ∂ y )

calculando as derivadas parciais, temos que

r o t ( F → ) = ( x 2 - 0 , x - 2 x y , 1 - 0 ) = ( x 2 , x - 2 x y , 1 )

Finalmente podemos escrever as nossas integrações como

∫ ∫ S 1 r o t ( F → ) ⋅ n 1 → d S = ∫ ∫ S 1 ( x 2 , x - 2 x y , 1 ) ⋅ ( - 1,0 , 0 ) d S

da mesma forma, temos que

∫ ∫ S 2 r o t ( F → ) ⋅ n 2   → d S = ∫ ∫ S 2 ( x 2 , x - 2 x y , 1 ) ⋅ ( 0 , - 1,0 ) d S

e, por último, temos que

∫ ∫ S 3 r o t ( F → ) ⋅ n 3 → d S = ∫ ∫ S 3 ( x 2 , x - 2 x y , 1 ) ⋅ ( 3,1 , 3 ) d S

Vamos resolver cada uma delas individualmente!

Passo 5

Vamos começar com a mais difícil, enquanto ainda temos forças, temos que

∫ ∫ S 3 r o t ( F → ) ⋅ n 3 → d S = ∫ ∫ S 3 ( x 2 , x - 2 x y , 1 ) ⋅ ( 3,1 , 3 ) d S

Podemos expandir o produto escalar para obter

∫ ∫ S 3 r o t ( F → ) ⋅ n 3 → d S = ∫ ∫ S 3 [ 3 x 2 + x - 2 x y + 3 ] d S

para conseguir determinar os limites de integração, vamos notar que temos a seguinte situação

p ( x , y ) = ( x , y , 2 - x - y / 3 )

em que x está no intervalo 0 ≤ x ≤ 2 , mas se seguirmos inicialmente ao longo de x , note que ao avançar por y , encontraremos a seguinte reta

y = 6 - 3 x

obtida com a interseção em z = 0 em nosso plano. Os limites são então dados por 0 ≤ y ≤ 6 - 3 x . E, a nossa integral se torna

∫ ∫ S 3 r o t ( F → ) ⋅ n 3 → d S = ∫ 0 2 ∫ 0 6 - 3 x [ 3 x 2 + x - 2 x y + 3 ] d y   d x

Vamos expandir e resolver agora! Saca só!

Passo 6

Integrando primeiro em y já que os limites não são constantes, ainda bem que todos os termos são polinômios, portanto, podemos integrá-los facilmente para obter

∫ ∫ S 3 r o t ( F → ) ⋅ n 3 → d S = ∫ 0 2 [ 3 x 2 [ y ] | 0 6 - 3 x + x [ y ] | 0 6 - 3 x - 2 x [ 1 2 y 2 ] | 0 6 - 3 x + 3 [ y ] | 0 6 - 3 x ]   d x

avaliando os limites de integração temos que

∫ ∫ S 3 r o t ( F → ) ⋅ n 3 → d S = ∫ 0 2 [ 3 x 2 ( 6 - 3 x ) + x ( 6 - 3 x ) - x ( 6 - 3 x ) 2 + 3 ( 6 - 3 x ) ]   d x

Vamos expandir um pouco os produtos apenas para ficar mais fácil visualizar os polinômios, temos que

∫ ∫ S 3 r o t ( F → ) ⋅ n 3 → d S = ∫ 0 2 [ 51 x 2 - 12 x 3 - 3 x + 18 ]   d x

Integrando temos então que

∫ ∫ S 3 r o t ( F → ) ⋅ n 3 → d S = 51 [ 1 3 x 3 ] | 0 2 - 12 [ 1 4 x 4 ] | 0 2 - 3 [ 1 2 x 2 ] | 0 2 + 18 [ x ] | 0 2 = 118

Vamos para as outras duas agora!

Passo 7

Vamos trabalhar agora com

∫ ∫ S 2 r o t ( F → ) ⋅ n 2   → d S = ∫ ∫ S 2 ( x 2 , x - 2 x y , 1 ) ⋅ ( 0 , - 1,0 ) d S

expandindo o produto escalar

∫ ∫ S 2 r o t ( F → ) ⋅ n 2   → d S = ∫ ∫ S 2 [ 2 x y - x ] d S

no entanto, esta superfície é o plano tal que y = 0 , e portanto, temos simplesmente que

∫ ∫ S 2 r o t ( F → ) ⋅ n 2   → d S = - ∫ ∫ S 2 [ x ] d x d z

esta superfície é o plano no qual y = 0 , e a superfície está no plano x z . Note que temos que podemos considerar x no intervalo 0 ≤ x ≤ 2 , mas isso acarreta em considerarmos que z estará no intervalo

0 ≤ z ≤ 2 - x

Portanto a integral toma a forma

∫ ∫ S 2 r o t ( F → ) ⋅ n 2   → d S = - ∫ 0 2 ∫ 0 2 - x x   d x d z

Precisamos integrar primeiro em z , de forma que obtemos

∫ ∫ S 2 r o t ( F → ) ⋅ n 2   → d S = - ∫ 0 2 x   [ z ] | 0 2 - x d x = - 2 ∫ 0 2 x   d x + ∫ 0 2 x 2   d x

Integrando agora em x , temos que

∫ ∫ S 2 r o t ( F → ) ⋅ n 2   → d S = - 2 [ 1 2 x 2 ] | 0 2 + [ 1 3 x 3 ] | 0 3 = - 4 / 3

Vamos analisar a outra integral agora!

Passo 8

Temos restando apenas a integral

∫ ∫ S 1 r o t ( F → ) ��� n 1 → d S = ∫ ∫ S 1 ( x 2 , x - 2 x y , 1 ) ⋅ ( - 1,0 , 0 ) d S

expandindo o produto escalar

∫ ∫ S 1 r o t ( F → ) ⋅ n 1 → d S = - ∫ ∫ S 1 x 2 d S

esta superfície é o plano no qual x = 0 , e a superfície está no plano y z . Portanto, podemos garantir que

∫ ∫ S 1 r o t ( F → ) ⋅ n 1 → d S = 0

Juntando todos os resultados que obtivemos, temos que

∫ ∫ S ( r o t   F → ) ⋅ N →   d S = 118 + 0 - 4 3 = 350 3

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

∫ ∫ S ( r o t   F → ) ⋅ N →   d S = 350 3

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Use o teorema de Stokes para calcular ∬ S c u r lF → ⋅ d S . F → x , y , z = x 2 z 2 i → + y 2 z 2 j → + x y z k → , S é a parte do paraboloide z = x 2 + y 2 que está dentro do cilindro x 2 + y 2 = 4
Verifique se o Teorema de Stokes é verdadeiro para o campo vetorial dado F → e a superfície S . F → = y i → + z j → + x k → , S é o hemisfério x 2 + y ² + z ² = 1 ² ² , y ≥ 0 , orientado na direção po
Use o teorema de Stokes para calcular ∬ S c u r lF → ⋅ d S . F → x , y , z = e x y cos ⁡ z i → + x 2 z j → + x y k → , S é o hemisfério x = 1 - y 2 - z 2 orientado na direção positiva do eixo x . (Sug
Use o teorema de Stokes para calcular ∫ C F → ⋅ d r → . Em cada caso, C é orientada no sentido anti-horário quando vista de cima. F → x , y , z = y z i → + 2 x z j → + ( e x y ) k → , C é a circunferê