Use o Teorema de Stokes para calcular ∫ F ∙ γ . Onde γ é orientado no sentido anti-horário quando viso de cima.

F x , y , z = x + y 2 i + y + z 2 j + z + x 2 k , e γ é o triangulo com vértices 1,0 , 0 ,   0,1 , 0 e ( 0,0 , 1 ) .

Passo 1

A curva da fronteira é um triangulo com vértices 1,0 , 0 ,   0,1 , 0 e ( 0,0 , 1 ) e que está sob o plano formado por esses vértices. Para determinar a superfície precisamos equaciona esse querido plano.

x + y + z = 1

Assim g x , y = 1 - x - y

E o vetor normal a essa superfície vai ser n → = v → = 1,1 , 1 .

Passo 2

O próximo passo é determinar a região de integração, como o plano é em xy, os limites serão:

0 ≤ x ≤ 1

0 ≤ y ≤ 1 - x

E

d A = d y d x

Agora iremos calcular o rotacional do campo.

∇   x   F → = i → j → k → ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z x + y 2 y + z 2 z + x 2 = - 2 z ,   - 2 x , - 2 y

O produto escalar entre ∇   x   F → e n → fica:

∇   x   F → ∙ n → = - 2 z ,   - 2 x ,   - 2 y ∙ 1,1 , 1 =   - 2

Passo 3

Agora é colocarmos tudo na integral:

∬ c u r l   F ∙ d S = ∫ 0 1 ∫ 0 1 - x - 2 d y d x = ∫ 0 1 - 2 y 0 1 - x d x = ∫ 0 1 - 2 1 - x d x

= - 2 x + 2 x 2 2 0 1

= - 1

Resposta

= - 1

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