Use o teorema de Stokes para calcular ∫ γ F → ⋅ d r → em cada um dos seguintes casos:

( d ) F → ( x , y , z ) = ( x + c o s ( x 3 ) ) i → + y j �� + ( x 2   - y 2 + z 100 ) k → e γ é a fronteira do parabolóide   z   =   1 - x 2 - y 2 contida no primeiro octante, orientada de modo que sua projeção no plano xy seja percorrida no sentido anti-horário;

Passo 1

Eaew, belezinha?

O enunciado nos pede para calcularmos a seguinte integração

∫ γ F → ⋅ d r →

em que levamos em consideração o seguinte campo vetorial

F → ( x , y , z ) = ( x + c o s ( x 3 ) , y , x 2   - y 2 + z 100 )

Como foi pedido no enunciado, vamos utilizar o Teorema de Stokes! A curva γ é a fronteira do parabolóide   z   =   1 - x 2 - y 2 contida no primeiro octante.

O teorema de Stokes que faz a seguinte identificação

∫ γ F → ⋅ d r → = ∫ ∫ S r o t ( F → ) ⋅ n →   d S

em que

F → ( x , y , z ) = ( x + c o s ( x 3 ) , y , x 2   - y 2 + z 100 )

Primeiro vamos encontrar o vetor normal da superfície!

Passo 2

A expressão do vetor normal pode ser obtida através do seguinte produto vetorial

n → = ∂ ϕ ( u , v ) ∂ u × ∂ ϕ ( u , v ) ∂ v

em que ϕ ( u , v ) é uma parametrização da superfície, nesse caso a superfície que vamos considerar é o parabolóide   z   =   1 - x 2 - y 2 . Escolhemos a seguinte parametrização

ϕ ( u , v ) = ( u , v , 1 - u 2 - v 2 ) .

Vamos calcular as derivadas e o produto vetorial:

n → = ∂ ϕ ( u , v ) ∂ u × ∂ ϕ ( u , v ) ∂ v = ( 1,0 , - 2 u ) × ( 0,1 , - 2 v ) .

Assim, obtemos que a normal é:

  n → = ( 2 u , 2 v , 1 ) .

Passo 3

Vamos calcular as grandezas no lado direito do teorema de Stokes! Podemos começar com

r o t ( F → ) = ∇ → × F →

usando que ∇ → = ( ∂ ∂ x , ∂ ∂ y , ∂ ∂ x ) , e usando a fórmula para o produto vetorial, temos

r o t ( F → ) = ( ∂ F z ∂ y - ∂ F y ∂ z , ∂ F x ∂ z - ∂ F z ∂ x , ∂ F y ∂ x - ∂ F x ∂ y )

Sendo F → ( x , y , z ) = ( x + c o s ( x 3 ) , y , x 2   - y 2 + z 100 ) , vamos calcular cada termo

∂ F z ∂ y - ∂ F y ∂ z = ∂ ∂ y [   x 2   - y 2 + z 100 ] - ∂ ∂ z [ y ] = - 2 y ;

∂ F x ∂ z - ∂ F z ∂ x = ∂ ∂ z [ x + c o s ( x 3 ) ] - ∂ ∂ x [   x 2   - y 2 + z 100 ] = - 2 x ;

∂ F y ∂ x - ∂ F x ∂ y = ∂ ∂ x [ y ] - ∂ ∂ y [ x + c o s ( x 3 ) ] = 0 .

Assim,

r o t ( F → ) = ( - 2 y ,   - 2 x ,   0 ) .

Passo 4

A integral é tal que

∫ γ F → ⋅ d r → = ∫ ∫ S r o t ( F → ) ⋅ n →   d S

temos que a parametrização foi feita em ( u ,   v ) , portanto d S = d u d v . Como a superfície é um parabolóide contido no primeiro octante, vamos usar coordenadas polares, então d u d v = r d r d θ , sendo u = r c o s θ e v = r s i n θ . Assim,

∫ ∫ S r o t ( F → ) ⋅ n →   d S = ∫ ∫ S ( - 2 v ,   - 2 u ,   0 ) ⋅ ( 2 u , 2 v , 1 ) d S

Note que usei no rotacional a parametrização que escolhemos. Resolvendo o produto escalar, temos que

∫ ∫ S ( - 4 u v - 4 v u ) d S = ∫ ∫ S ( - 8 u v ) d S

Passo 5

A superfície considerada é o parabolóide   z   =   1 - x 2 - y 2 contida no primeiro octante. Em coordenadas polares temos que os limites para r e θ são 0 ≤ r ≤ 1 e 0 ≤ θ ≤ π 2 . Nossa integral se torna então

∫ ∫ S F → ⋅ n → d S = ∫ 0 π 2 ∫ 0 1 ( - 8 r 2 c o s θ s i n θ ) r d r d θ .

Maravilha! Vamos calcular a nossa integração!

Passo 6

Vamos começar a nossa integração! Saca só!

∫ ∫ S F → ⋅ n → d S = ∫ 0 π 2 ∫ 0 1 ( - 8 r 3 c o s θ s i n θ ) d r d θ

Para integrar em θ utilizamos a substituição w = s i n θ e d w = c o s θ d θ

∫ ∫ 0 1 ( - 8 r 3 w ) d r d w = ∫ 0 1 ( - 8 r 3 [ w 2 2 | θ = 0 1 ] ) d r = - ∫ 0 1 [ s i n θ 2 2 | 0 π 2   ] ( - 8 r 3 ) d r = - 8 ∫ 0 1 1 2 r 3 d r

agora integrando em r ,

- 8 ∫ 0 1 1 2 r 3 d r = - 4 [ r 4 4 | 0 1 ] = - 4 1 4 - 0 4 = - 1 .

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

∫ γ F → ⋅ d r → = - 1 .

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