Calcule ∫ γ v → ⋅ d r → , sendo

( f ) v → ( x , y , z ) = ( c o s ( 1 + x 2   ) , - z y 2 + z 2 + e y 4 ,   y y 2 + z 2 ) e γ é a intersecção do cilindro x 2 + y 2 = 4 com o plano     x   = y + z , orientada de modo que sua projeção no plano y z seja percorrida no sentido anti-horário.

Passo 1

Eaew, belezinha?

O enunciado nos pede para calcularmos a seguinte integração

∫ γ v → ⋅ d r →

em que levamos em consideração o seguinte campo vetorial

v → ( x , y , z ) = ( c o s ( 1 + x 2   ) , - z y 2 + z 2 + e y 4 ,   y y 2 + z 2 )

e a curva pode ser obtida pela intersecção do cilindro

x 2 + y 2 = 1

com a superfície

z + y + x = 4

Primeiro vamos parametrizar essa curva!

Passo 2

Para parametrizar a curva intersecção entre as duas superf��cies, vamos usar coordenadas polares no plano yz de forma que

z ( t ) =   c o s ( t ) e y ( t ) =   s e n ( t )

Desta forma, temos que

x ( t ) = 2 c o s ( t ) + 2 s i n ( t )

Ou seja, nossa curva é dada por

r → ( t ) = ( 2 c o s ( t ) + 2 s i n ( t ) ,   2 s e n ( t ) ,   2 c o s ( t ) ) , 0 ≤ t ≤ 2 π

Passo 3

Temos que

∫ γ v → ⋅ d r → = ∫ t i t f   v → ⋅ r ' → ( t ) d t

então vamos calcular r ' → ( t )

r ' → ( t ) = d d t ( 2 c o s ( t ) + 2 s i n ( t ) ,   2 s e n ( t ) ,   2 c o s ( t ) ) = ( 2 c o s ( t ) - 2 s i n ( t ) , 2 c o s ( t ) ,   - 2 s i n ( t ) )

Sendo,

v → ( x , y , z ) = ( c o s ( 1 + x 2   ) , - z y 2 + z 2 + e y 4 ,   y y 2 + z 2 ) =

= ( c o s ( 1 + ( 2 c o s ( t ) + 2 s i n ( t ) ) 2   ) , - c o s ( t ) 2 + e ( 2 s i n ( t ) ) 4 ,   s i n ( t ) 2 )

Assim,

v → ⋅ r ' → ( t ) =

= ( c o s ( 1 + ( 2 c o s ( t ) + 2 s i n ( t ) ) 2   ) , - c o s ( t ) 2 + e ( 2 s i n ( t ) ) 4 ,   s i n ( t ) 2 ) . ( 2 c o s ( t ) - 2 s i n ( t ) , 2 c o s ( t ) ,   - 2 s i n ( t ) )

v → ⋅ r ' → ( t ) = ( c o s ( 1 + ( 2 c o s ( t ) + 2 s i n ( t ) ) 2   ) ( 2 c o s ( t ) - 2 s i n ( t ) ) +

- c o s ( t ) 2 + 2 c o s ( t ) e ( 2 s i n ( t ) ) 4 - s i n ( t ) 2

Lembrando que s i n ( t ) 2   + c o s ( t ) 2 = 1 , temos que

v → ⋅ r ' → ( t ) = - 1 + ( c o s ( 1 + ( 2 c o s ( t ) + 2 s i n ( t ) ) 2   ) ( 2 c o s ( t ) - 2 s i n ( t ) ) +

+ 2 c o s ( t ) e ( 2 s i n ( t ) ) 4 .

Passo 4

Passo 5

A integral é tal que

∫ γ v → ⋅ d r → =

= - ∫ 0 2 π [ - 1 + ( c o s ( 1 + ( 2 c o s ( t ) + 2 s i n ( t ) ) 2   ) ( 2 c o s ( t ) - 2 s i n ( t ) ) + 2 c o s ( t ) e ( 2 s i n ( t ) ) 4 ] d t

O sinal negativo é devido o caminho ser percorrido no sentido anti- horário no plano yz . Assim,

∫ γ v → ⋅ d r → = t | 0 2 π +

- ∫ 0 2 π [ ( c o s ( 1 + ( 2 c o s ( t ) + 2 s i n ( t ) ) 2   ) ( 2 c o s ( t ) - 2 s i n ( t ) ) ] d t - ∫ 0 2 π [ 2 c o s ( t ) e ( 2 s i n ( t ) ) 4 ] d t

Note que se fizermos a seguinte substituição w = 2 c o s ( t ) + 2 s i n ( t ) ) no segundo termo da integral, temos que d w = - 2 s i n ( t ) + 2 c o s ( t ) e a integral fica

- ∫ 0 2 π [ ( c o s ( 1 + ( 2 c o s ( t ) + 2 s i n ( t ) ) 2   ) ( 2 c o s ( t ) - 2 s i n ( t ) ) ] d t = - ∫ 2 2 c o s ( 1 + w 2 ) d w

Porém, os limites da integral em w são iguais, portanto essa integral é nula

- ∫ 0 2 π [ ( c o s ( 1 + ( 2 c o s ( t ) + 2 s i n ( t ) ) 2   ) ( 2 c o s ( t ) - 2 s i n ( t ) ) ] d t = - ∫ 2 2 c o s ( 1 + w 2 ) d w = 0 .

O mesmo acontece para o termo. sabendo disso, voltamos para a integral total

∫ γ v → ⋅ d r → = t | 0 2 π = 2 π .

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

∫ γ v → ⋅ d r → = 2 π .

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