Sejam S 1 e S 2 superfícies regulares com equações implícitas z = x 2 + y 2 e z = 4 - x - 2 2 - y 2 , respectivamente, e seja C a curva obtida na intersecção de S 1 e S 2 , orientada de modo que suas projeções no plano x y é percorrida no sentido anti-horário.

(a) Esboce as curvas obtidas na intersecção de S 1 e S 2 com o plano y = 0 .

(b) Mostre que a curva C está contida num plano e encontre a equação implícita para o plano que a contém.

(c) Mostre que a curva C está contida num clilíndro cujo eixo de rotação é paralelo ao eixo z e encontre a equação implícita.

(d) Usando o teorema de Stokes, descreva uma superfície apropriada que tenha a curva C como fronteira e calcule o trabalho do campo F x , y , z = - 2 y c o s x z , 3 x + x y , y c o s x z .

Passo 1

Letra a)

Para facilitar a nossa vida vamos considerar já a intersecção com o plano y = 0 , dessa forma nossas duas equações serão:

z = x 2

z = 4 - x - 2 2

Dessa forma facilita muito a nossa vida porque agora só precisamos desenhar em um plano x z essas nossas duas equações de parábolas

Onde as curvas que a gente quer são essas que estão em preto.

Para finalizar e deixar mais completo igualamos as duas equações para marcamos os ponto de intersecção.

x 2 = 4 - x - 2 2

Rearranjando essa equação teremos então:

x 2 = 4 - x 2 - 4 x + 4

x 2 = 2 x

As raízes dessa equação nos dirá que nossos pontos terão como coordenadas em x : 0   e 2

Para descobrir o valor em z é só substituir em uma das equações que tínhamos e agora nossos pontos serão:

0,0 e ( 2,4 )

Passo 2

Letra b)

Tendo as equações das superfícies:

z = x 2 + y 2 e z = 4 - x - 2 2 - y 2

Organizando a segunda equação para termos x 2 + y 2 de um lado só:

z = 4 - x 2 - 4 x + 4 - y 2

z = - x 2 + 4 x - y 2

x 2 + y 2 = 4 x - z

Substituindo x 2 + y 2 na primeira equação vamos ter:

z = 4 x - z

z = 2 x

Que é a equação implícita do plano que contém a curva C .

Para ter uma visualização do plano.

Passo 3

Letra c)

Tendo as equações das superfícies:

z = x 2 + y 2 e z = 4 - x - 2 2 - y 2

Substituindo em z uma equação da outra vamos ter:

x 2 + y 2 = 4 - x - 2 2 - y 2

Organizando a equação:

x 2 + y 2 = 4 - x 2 - 4 x + 4 - y 2

x 2 + y 2 = - x 2 + 4 x - y 2

x 2 + y 2 = 2 x

De primeiro momento não parece ser a quação de um cilindro, mas para ficar mais claro, vamos somar 1 dos dois lados para podermos completar o produto notável de x

x 2 + y 2 + 1 = 2 x + 1

x 2 - 2 x + 1 + y 2 = 1

x - 1 2 + y 2 = 1

Assim fica mais claro que temos um cilindro de raio 1 e deslocado de uma unidade em x com relação à origem.

Essa é portanto a equação do cliíndro que contém a curva C . Note que como temos a variável z   omitida, significa que o cilindro é projetado ao logo desse eixo.

Para ter uma visualização melhor de como seria o cilindro.

Passo 4

Letra d)

Para utilizar o teoremas de Stokes precisamos que a curva C seja fechada e que ela seja o bordo de uma superfície.

O teorema de stokes pode ser calculado fazendo:

∫ C F → d r →     = ∬ S r o t F → N → d S

O que queremos é o trabalho do campo F → , que é exatamente essa integral de linha do lado esquerdo da equação.

Vamos começar calculando o rotacional do campo. Esse rotacional é calculado pela fórmula:

r o t F = i j k ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z F 1 F 2 F 3 = ∂ F 3 ∂ y - ∂ F 2 ∂ z , ∂ F 1 ∂ z - ∂ F 3 ∂ x , ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y

Calculando cada derivada parcial separadamente:

- 2 y c o s x z , 3 x + x y , y c o s x z

∂ F 3 ∂ y = c o s ⁡ ( x z )

∂ F 2 ∂ z = 0

∂ F 1 ∂ z = 2 y x s e n ( x z )

∂ F 3 ∂ x = - y z s e n ( x z )

∂ F 2 ∂ x = 3 + y

∂ F 1 ∂ y = - 2 c o s ⁡ ( x z )

O rotacional será portanto:

r o t F = c o s x z , 2 x + z s e n x z , 3 + y + 2 cos ⁡ x z  

Passo 5

A melhor superfície para esse caso é a superfície no interior da curva C , que chamaremos de S .

Ela pode ser encontrada igualando as equações das superfícies S 1 e S 2 :

(1) z = x 2 + y 2

(2) z = 4 - x - 2 2 - y 2

Assim vamos ter igualando z :

x 2 + y 2 = 4 - x - 2 2 - y 2

x 2 + y 2 = 2 x

x - 1 2 + y 2 = 1

Aqui temos a equação de um cilindro

Precisamos ainda igualar a parte de x 2 + y 2 :

z = 4 - x - 2 2 - y 2

z = 4 - x 2 + 4 x - 4 - y 2

x 2 + y 2 = 4 x - z

Substituindo isso em (1):

z = 4 x - z

z = 2 x

O que temos aqui é a equação de um plano.

Portanto podemos definir a superfície quem a gente quer como:

φ x , y = ( x , y , 2 x )

Onde:

x - 1 2 + y 2 ≤ 1

Passo 6

Encontrado a normal à nossa superfície S

N → = ∂ φ ∂ x × ∂ φ ∂ y = i j k 1 0 2 0 1 0 = ( - 2,0 , 1 )

Como a normal deve apontar para fora uma vez que já foi definido uma orientação anti-horária para a projeção da curva no plano x y , manteremos essa normal.

Passo 7

Vamos agora aplicar a fórmula:

∫ C F → d r →     = ∬ S r o t F → N → d S = ∬ D r o t F → φ x , y N → d S

r o t F → φ x , y = c o s 2 x 2 , 4 x s e n 2 x 2 , 3 + y + 2 cos ⁡ 2 x 2

∫ C F → d r → = ∬ D c o s 2 x 2 , 4 x s e n 2 x 2 , 3 + y + 2 cos ⁡ 2 x 2 . - 2,0 , 1 d x d y =

= ∬ D - 2 ( c o s 2 x 2 + 3 + y + 2 cos ⁡ 2 x 2 d x d y =

= ∬ D 3 + y d x d y

Onde D é dado por

x - 1 2 + y 2 ≤ 1

Passo 8

Fazendo agora a mudança polar:

x = r c o s θ + 1

y = r s e n θ

J = r

Os limites agora passam a ser:

0 < r < 1

0 < θ < 2 π

Jogando isso tudo na nossa integral:

= ∫ 0 2 π ∫ 0 1 3 + r s e n θ r d r d θ =

= ∫ 0 2 π ∫ 0 1 3 r + r 2 s e n θ d r d θ =

= ∫ 0 2 π 3 r 2 2 + r 3 3 s e n θ 0 1 d θ =

= ∫ 0 2 π 3 2 + 1 3 s e n θ d θ =

= 3 2 θ - 1 3 cos ⁡ θ 0 2 π d θ =

= 3 π

Resposta

a)

b) z = 2 x

c) x - 1 2 + y 2 = 1

d) 3 π

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