Use o teorema de Stokes para calcular ∫ γ F → ⋅ d r → em cada um dos seguintes casos:

( c ) F → ( x , y , z ) = ( 2 z   + s i n e x 3 ) i → + 4 x j → + ( 5 y + s i n ( s i n z 2 ) ) k → e γ é a intersecção do plano   z   =   x   +   4 com o cilindro x 2 + y 2 = 4 , orientada de modo que sua projeção no plano xy seja percorrida no sentido anti-horário;

Passo 1

Eaew, belezinha?

O enunciado nos pede para calcularmos a seguinte integração

∫ γ F → ⋅ d r →

em que levamos em consideração o seguinte campo vetorial

F → ( x , y , z ) = ( 2 z   + s i n e x 3 , 4 x , 5 y + s i n ( s i n z 2 ) )

Como foi pedido no enunciado, vamos utilizar o Teorema de Stokes! A curva γ é a intersecção do plano   z   =   x   +   4 com o cilindro x 2 + y 2 = 4 .

O teorema de Stokes que faz a seguinte identificação

∫ γ F → ⋅ d r → = ∫ ∫ S r o t ( F → ) ⋅ n →   d S

em que

F → ( x , y , z ) = ( 2 z   + s i n e x 3 , 4 x , 5 y + s i n ( s i n z 2 ) )

Primeiro vamos encontrar o vetor normal da superfície!

Passo 2

A expressão do vetor normal pode ser obtida através do seguinte produto vetorial

n → = ∂ ϕ ( u , v ) ∂ u × ∂ ϕ ( u , v ) ∂ v

em que ϕ ( u , v ) é uma parametrização da superfície, nesse caso a superfície que vamos considerar γ é a intersecção do plano   z   =   x   +   4 com o cilindro   x 2 + y 2 = 4 . Escolhemos a seguinte parametrização

ϕ ( u , v ) = ( u , v , u + 4 )

Vamos calcular as derivadas e o produto vetorial:

n → = ∂ ϕ ( u , v ) ∂ u × ∂ ϕ ( u , v ) ∂ v = ( 1,0 , 1 ) × ( 0,1 , 0 ) .

Assim, obtemos que a normal é:

  n → = ( - 1,0 , 1 ) .

Passo 3

Vamos calcular as grandezas no lado direito do teorema de Stokes! Podemos começar com

r o t ( F → ) = ∇ → × F →

usando que ∇ → = ( ∂ ∂ x , ∂ ∂ y , ∂ ∂ x ) , e usando a fórmula para o produto vetorial, temos

r o t ( F → ) = ( ∂ F z ∂ y - ∂ F y ∂ z , ∂ F x ∂ z - ∂ F z ∂ x , ∂ F y ∂ x - ∂ F x ∂ y )

Sendo F → ( x , y , z ) = ( 2 z   + s i n e x 3 , 4 x , 5 y + s i n ( s i n z 2 ) ) , vamos calcular cada termo

∂ F z ∂ y - ∂ F y ∂ z = ∂ ∂ y [   5 y + s i n ( s i n z 2 ) ] - ∂ ∂ z 4 x ] = 5 ;

∂ F x ∂ z - ∂ F z ∂ x = ∂ ∂ z [ 2 z   + s i n e x 3 ] - ∂ ∂ x [   5 y + s i n ( s i n z 2 ) ] = 2 ;

∂ F y ∂ x - ∂ F x ∂ y = ∂ ∂ x [ 4 x ] - ∂ ∂ y [ 2 z   + s i n e x 3 ] = 4 .

Assim,

r o t ( F → ) = ( 5,2 , 4 ) .

Passo 4

A integral é tal que

∫ γ F → ⋅ d r → = ∫ ∫ S r o t ( F → ) ⋅ n →   d S

temos que a parametrização foi feita em ( u ,   v ) , portanto d S = d u d v . Como a superfície é limitada por um cilindro de raio r = 2 , vamos usar coordenadas polares, então d u d v = r d r d θ , sendo u = r c o s θ e v = r s i n θ . Assim,

∫ ∫ S r o t ( F → ) ⋅ n →   d S = ∫ ∫ S ( 5,2 , 4 ) ⋅ ( - 1,0 , 1 ) d S

Resolvendo o produto escalar, temos que

∫ ∫ S ( - 5 + 4 ) d S d S = ∫ ∫ S ( - 1 ) d S

Passo 5

A superfície considerada é o plano   z   =   x   +   4 limitado pelo cilindro   x 2 + y 2 = 4 . Em coordenadas polares temos que os limites para r e θ são 0 ≤ r ≤ 2 e 0 ≤ θ ≤ 2 π . Nossa integral se torna então

∫ ∫ S F → ⋅ n → d S = ∫ 0 2 π ∫ 0 2 ( - 1 ) r d r d θ .

Maravilha! Vamos calcular a nossa integração!

Passo 6

Vamos começar a nossa integração! Saca só!

∫ ∫ S F → ⋅ n → d S = ∫ 0 2 π ∫ 0 2 ( - 1 ) r d r d θ

integrando em θ :

∫ 0 2 π ∫ 0 2 ( - 1 ) r d r d θ = - ∫ 0 2 [ θ | 0 2 π   ] r d r = - 2 π ∫ 0 2 r d r

agora integrando em r ,

- 2 π ∫ 0 2 r d r = - 2 π [ r 2 2 | 0 2 ] = - 2 π 2 2 - 0 2 = - 4 π .

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

∫ γ F → ⋅ d r → = - 4 π .

Exercícios de Livros Relacionados

Uma partícula se move ao longo dos segmentos de reta da origem aos pontos 1,0 , 0 ,1,2 , 1 ( 0,2 , 1 ) e de volta para a origem sob a influência do campo de forças F → = z 2 i → + 2 x y j → + 4 y 4 k
Use o teorema de Stokes para calcular ∬ S c u r lF → ⋅ d S . F → x , y , z = x 2 z 2 i → + y 2 z 2 j → + x y z k → , S é a parte do paraboloide z = x 2 + y 2 que está dentro do cilindro x 2 + y 2 = 4
Verifique se o Teorema de Stokes é verdadeiro para o campo vetorial dado F → e a superfície S . F → = y i → + z j → + x k → , S é o hemisfério x 2 + y ² + z ² = 1 ² ² , y ≥ 0 , orientado na direção po
Use o teorema de Stokes para calcular ∬ S c u r lF → ⋅ d S . F → x , y , z = e x y cos ⁡ z i → + x 2 z j → + x y k → , S é o hemisfério x = 1 - y 2 - z 2 orientado na direção positiva do eixo x . (Sug
Use o teorema de Stokes para calcular ∫ C F → ⋅ d r → . Em cada caso, C é orientada no sentido anti-horário quando vista de cima. F → x , y , z = y z i → + 2 x z j → + ( e x y ) k → , C é a circunferê