Use o teorema de Stokes para calcular ∫ γ F → ⋅ d r → em cada um dos seguintes casos:

( a ) F → ( x , y , z ) = x z i → + 2 x y j → + 3 x y k → e γ é a fronteira da parte do plano 3x + y + z = 3 contida no primeiro octante,orientada de modo que sua projeção no plano xy seja percorrida no sentido anti-horário;

Passo 1

Eaew, belezinha?

O enunciado nos pede para calcularmos a seguinte integração

∫ γ F → ⋅ d r →

em que levamos em consideração o seguinte campo vetorial

F → ( x , y , z ) = ( x z ,   2 x y ,   3 x y )

Como foi pedido no enunciado, vamos utilizar o Teorema de Stokes! A curva γ será obtida pela intersecção do plano 3 x + y + z = 3 com os limites do primeiro octante.

O teorema de Stokes que faz a seguinte identificação

∫ γ F → ⋅ d r → = ∫ ∫ S r o t ( F → ) ⋅ n →   d S

em que

F → ( x , y , z ) = ( x z ,   2 x y ,   3 x y )

Primeiro vamos encontrar o vetor normal da superfície!

Passo 2

A expressão do vetor normal pode ser obtida através do seguinte produto vetorial

n → = ∂ ϕ ( u , v ) ∂ u × ∂ ϕ ( u , v ) ∂ v

em que ϕ ( u , v ) é uma parametrização da superfície, sendo essa

ϕ ( u , v ) = ( u , v , 3 - 3 u - v )

Vamos calcular as derivadas e o produto vetorial:

n → = ∂ ϕ ( u , v ) ∂ u × ∂ ϕ ( u , v ) ∂ v = ( 1,0 , - 3 ) × ( 0,1 , - 1 ) .

Assim, obtemos que a normal é:

  n → = ( 3,1 , 1 )

Passo 3

Vamos calcular as grandezas no lado direito do teorema de Stokes! Podemos começar com

r o t ( F → ) = ∇ → × F →

usando que ∇ → = ( ∂ ∂ x , ∂ ∂ y , ∂ ∂ x ) , e usando a fórmula para o produto vetorial, temos

r o t ( F → ) = ( ∂ F z ∂ y - ∂ F y ∂ z , ∂ F x ∂ z - ∂ F z ∂ x , ∂ F y ∂ x - ∂ F x ∂ y )

Sendo F → ( x , y , z ) = ( x z ,   2 x y ,   3 x y ) , vamos calcular cada termo

∂ F z ∂ y - ∂ F y ∂ z = ∂ ∂ y [ 3 x y ] - ∂ ∂ z [ 2 x y ] = 3 x ;

∂ F x ∂ z - ∂ F z ∂ x = ∂ ∂ z [ x z ] - ∂ ∂ x [ 3 x y ] = x - 3 y ;

∂ F y ∂ x - ∂ F x ∂ y = ∂ ∂ x [ 2 x y ] - ∂ ∂ y [ x z ] = 2 y .

Assim,

r o t ( F → ) = ( 3 x , x - 3 y , 2 y ) .

Passo 4

A integral é tal que

∫ γ F → ⋅ d r → = ∫ ∫ S r o t ( F → ) ⋅ n →   d S

temos que a parametrização foi feita em ( u ,   v ) , portanto d S = d u d v , ou seja

∫ γ F → ⋅ d r → = ∫ ∫ S ( 3 u , u - 3 v , 2 v ) ⋅ ( 3,1 , 1 ) d S

Note que usei no rotacional a parametrização que escolhemos! Resolvendo o produto escalar, temos que

∫ γ F → ⋅ d r → = ∫ ∫ S ( 9 u + u - 3 v + 2 v ) d S = ∫ ∫ S ( 10 u - v ) d S

Passo 5

A superfície considerada é o plano 3 x + y + z = 3 . Para definir os limites de integração, considerando que estamos no primeiro octante, tomamos z=0 e olhando para o plano xy 3 x + y = 3 temos que os limites para u e v são 0 ≤ u ≤ 1 e 0 ≤ v ≤ 3 - 3 u . Nossa integral se torna então

∫ ∫ S F → ⋅ n → d S = ∫ 0 1 ∫ 0 3 - 3 u ( 10 u - v ) d v d u .

Maravilha! Vamos calcular a nossa integração!

Passo 6

Vamos começar a nossa integração! Saca só!

Precisamos integrar primeiro em v , pois os limites de sua integral dependem de u :

∫ ∫ S F → ⋅ n → d S = ∫ 0 1 ∫ 0 3 - 3 u ( 10 u - v ) d v d u

temos que

∫ 0 1 ∫ 0 3 - 3 u ( 10 u - v ) d v d u = 10 ∫ 0 1 u [ v | 0 3 - 3 u ] d u - ∫ 0 1 [ v 2 2 | 0 3 - 3 u ] d u

10 ∫ 0 1 u [ 3 - 3 u   - 0 ] d u - ∫ 0 1 [ ( 3 - 3 u ) 2 2   - 0 ] d u = ∫ 0 1 30 u - 30 u 2 - ( 9 + 9 u 2 - 18 u ) 2 ] d u

agora integrando em u ,

∫ 0 1 30 u - 30 u 2 - ( 9 + 9 u 2 - 18 u ) 2 ] d u = ∫ 0 1 [ 39 u - 69 2 u 2 - 9 2 ] d u

∫ 0 1 [ 39   u - 69 2 u 2 - 9 2 ] d u = [ 39 u 2 2 | 0 1 - 69 u 3 6 | 0 1 - 9 u 2 | 0 1 ] = 39 2 - 69 6 - 9 2 = 30 2 - 23 2 = 7 2 .

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

∫ γ F → ⋅ d r → = 7 2 .

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