(Capítulo 16.8 – Exercício 10) Use o teorema de Stokes para calcular ∫ C F → ⋅ d r → . Em cada caso, C é orientada no sentido anti-horário quando vista de cima.

F → x , y , z = x y i → + 2 z j → + ( 3 y ) k → , C é a curva de intersecção do plano x + z = 5 e do cilindro x 2 + y 2 = 9 .

Passo 1

Faala, meu povo! Tudo bem com vocês? Partiu resolver mais um exercício?

Antes de tudo, bora tentar entender graficamente o que está acontecendo.

F → nos mostra uma curva que é intersecção entre o plano e o cilindro.

Tem um conceito importante para esse exercício aqui, que é a curva de fronteira. Essa curva mostra, como o nome já diz, a fronteira da superfície que será integrada. Em outras palavras, até onde vai rolar a nossa integração.

Então, a curva de fronteira está no plano z = 5 - x .

Encontramos isso isolando z de x + z = 5 , conforme dado no enunciado.

Assim, z = g x , y = 5 - x .

Precisamos encontrar agora, o vetor normal para essa curva.

Mas espera aí! Vetor normal? O que é issooooo?

Se um vetor em algum ponto da superfície que estamos calculando é perpendicular naquele ponto, ele é chamado de vetor normal a esse ponto em questão.

E o vetor normal a essa superfície vai ser n → = - ∂ z ∂ x ,   - ∂ z ∂ y ,   1 :

Como conhecemos z , aplicaremos nas coordenadas x   e   y do vetor normal.

n → = - ∂ z ∂ x ,   - ∂ z ∂ y ,   1 = ( 1,0 ,   1 )

Legal! O próximo passo é determinar a região de integração. A projeção no plano x y é um círculo de raio 3 . Em coordenadas polares temos x = r c o s θ e   y = r s e n ( θ ) e os limites vão ser:

{ 0 ≤ r ≤ 3   0 ≤ θ ≤ 2 π  

E o elemento de área vai ser: d A = r d r d θ

Passo 2

Legal! O próximo passo é determinar o rotacional de F → :

Em cálculo vetorial, rotacional é um operador que calcula, em uma superfície infinitesimal, o quanto os vetores de um campo vetorial se afastam ou se aproximam de um vetor normal a esta superfície.

E para nos ajudar, consideramos que o rotacional é uma matriz 3x3 que precisamos encontrar uma espécie de determinante com o método de Laplace para a primeira linha.

E aí temos:

∇ × F → = i →   j →   k →   ∂ ∂ x   ∂ ∂ y   ∂ ∂ z   x y   2 z   3 y  

Aplicando Laplace na Primeira Linha:

= i → ∂ ∂ y ( 3 y ) - ∂ ∂ z ( 2 z ) + j → ∂ ∂ z ( x y ) - ∂ ∂ x ( 3 y ) + k → ∂ ∂ x ( 2 z ) - ∂ ∂ y ( x y )

∇ × F → = 〈 1,0 , - x 〉

Precisamos agora calcular o produto escalar entre ∇ × F → e n → , ficando:

∇ × F → ⋅ n → = 1,0 , - x ⋅ 1,0 , 1 = 1 - x = 1 - r c o s ( θ )

Passo 3

Agora é colocar tudo na integral:

∬ S c u r l   F → ⋅ d S = ∫ 0 2 π ∫ 0 3 ( 1 - r c o s ( θ ) ) r d r d θ = ∫ 0 2 π r 2 2 0 3 + r 3 3 c o s c o s   θ   0 3 d θ = ∫ 0 2 π 9 2 d θ -   ∫ 0 2 π 9 c o s c o s   θ   d θ = 9 2 . 2 π + 0 = 9 π

∬ S c u r l   F → ⋅ d S = 9 π

Prontinho! Já temos o que o nosso enunciado pediu. Bora resolver mais uma questão?

Resposta

∬ S c u r l   F → ⋅ d S = 9 π

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