Use o teorema de Stokes para calcular a integral de linha ∫ C   F . d r , em que

F x , y , z = - y 2   i + x   j + z 2   k

Em que C é a curva de intersecção do plano x + y + z = 5 com o cilindro x 2 + y 2 = 1 .

Passo 1

Antes de tudo vamos fazer um gráfico da região para entender melhor a questão. Temos o plano x + y + z = 5 cortado pelo cilindro de raio 1 centrado na origem, o que nos dá isso aqui:

Esse desenho não precisa de precisão nenhuma, ok? É só para termos uma ideia mesmo, você pode desenhar um plano qualquer cortando o clilindro.

A questão pede para calcularmos a integral de linha em C , que é a interseção do plano inclinado (em vermelho) com o cilindro. Como podemos ver, C forma uma elipse. Percebeu?

Passo 2

O Teorema de Stokes nos diz isso aqui:

∮ ∂ S   F → . d r = ∬ S   r o t F → . n → d s

Ou seja, podemos substituir essa integral de linha sobre a curva por uma integral do rotacional de F sobre uma superfície S que tenha a curva como fronteira. No caso, vamos escolher esse retalho do plano mesmo, para simplificar as coisas! Ou seja, a própria elipse contida no plano.

Então, S é o pedaço do plano que forma uma elipse inclinada e ∂ S é a própria curva C , a fronteira do plano.Temos então:

∮ C   F → . d r = ∬ S   r o t F → . n → d s

Precisamos, então, calcular r o t F → , sabendo que

F x , y , z = - y 2   i + x   j + z 2   k

Temos:

r o t F → = ∇ ×   F → = i j k ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z F 1 F 2 F 3

r o t F → = ∂ F 3 ∂ y - ∂ F 2 ∂ z ,   ∂ F 1 ∂ z - ∂ F 3 ∂ x ,   ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y

r o t F → = 0 - 0 ,   0 - 0,1 + 2 y = 0,0 , 1 + 2 y

Passo 3

Agora vamos parametrizar a superfície S .

Há infinitas superfícies com fronteira igual à curva do enunciado, mas para simplificar o problema, escolhemos o retalho do plano mesmo.

Qual será a melhor maneira para parametrizar o plano   x + y + z = 5 ? Vamos usar logo x e y como parâmetros, para ser mais simples:

x = x

y = y

z = 5 - x - y

φ x , y = ( x , y ,   5 - x - y )

Onde x e y pertencem à projeção dessa região no plano x y , que, no caso, é um círculo. Como assim? Vendo de cima, temos isso aqui:

A elipse inclinada “vira” um círculo, a projeção do cilindro. Então, x e y tem que estar dentro dessa circunferência azul, de equação

x 2 + y 2 = 1

Foi? Isso acontece porque o plano é cortado pelo cilindro. Temos então

φ x , y = ( x , y ,   5 - x - y )

Com

x 2 + y 2 ≤ 1

Esse é o domínio da parametrização.

Passo 4

Calcular ∂ φ ∂ x × ∂ φ ∂ y

∂ φ ∂ x = ( 1,0 , - 1 )

∂ φ ∂ y = ( 0,1 , - 1 )

∂ φ ∂ x × ∂ φ ∂ y = i j k 1 0 - 1 0 1 - 1 = ( 1,1 , 1 )

Como o problema não especifica a orientação da curva ou do vetor normal, vamos utilizar esse que encontramos mesmo.

Passo 5

Aplicar o Teorema

∫ γ   F → . d r = ∬ S   r o t F → . n → d s = ∬ D   r o t F → . ∂ φ ∂ x × ∂ φ ∂ y d x d y

= ∬ D   ( 0,0 , 1 + 2 y ) ( 1,1 , 1 ) d x d y =

Onde D é o círculo x 2 + y 2 ≤ 1 , como já vimos lá em cima.

= ∬ D   1 + 2 y   d x d y =

Ok, como temos um círculo, a boa é usar coordenadas polares:

x = r cos ⁡ θ

y = r   s e n   θ

J = r

A região D passa a ser então 0 ≤ r ≤ 1 e 0 ≤ θ ≤ 2 π . O que nos dá

= ∫ 0 2 π ∫ 0 1 1 + 2 r   s e n   θ r d r d θ =

= ∫ 0 2 π ∫ 0 1 r + 2 r 2   s e n   θ d r d θ =

= ∫ 0 2 π r 2 2 + 2 r 3 3 s e n   θ 0 1 d θ =

= ∫ 0 2 π 1 2 + 2 3 s e n   θ d θ =

= θ 2 - 2 3 cos ⁡ θ 0 2 π =

= π

Resposta

= π

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