Use o Teorema de Stokes para calcular

∬ S r o t F   n   d S

onde F x , y , z = ( y 2 c o s z ,   2 x y   c o s z ,   - x y 2 s e n z ) e S é o femisfério x 2 + y 2 + z 2 = 9 ,   z ≥ 0 ,   com orientação ascendente.

Passo 1

Beleza então, questão diretona aí pra gente. Vamos lembrar o que é esse Teorema de Stokes?

Bom, nele nós trocamos a integral de Superfície por uma integral de linha, certo?

∫ ∂ S F   d r = ∬ S r o t F   n   d S  

Vamos começar então calculando o rotacional do nosso campo, tranquilo?

Passo 2

Lembrando que nosso campo é F x , y , z = y 2 c o s z ,   2 x y   c o s z ,   - x y 2 s e n z

Bora lá então,

2 x y s e n z - 2 x y s e n z i + y 2 s e n z - y 2 s e n z j + 2 y c o z - 2 y c o s z k

= 0 ,   0 ,   0

Caraca, melhor que isso é impossível. Temos um campo conservativo!! A integral de linha de um campo conservativo ao longo de QUALQUER curva fechada em seu domínio é nula!

Logo, nossa resposta é zero

Resposta

0

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Uma partícula se move ao longo dos segmentos de reta da origem aos pontos 1,0 , 0 ,1,2 , 1 ( 0,2 , 1 ) e de volta para a origem sob a influência do campo de forças F → = z 2 i → + 2 x y j → + 4 y 4 k
Use o teorema de Stokes para calcular ∬ S c u r lF → ⋅ d S . F → x , y , z = x 2 z 2 i → + y 2 z 2 j → + x y z k → , S é a parte do paraboloide z = x 2 + y 2 que está dentro do cilindro x 2 + y 2 = 4
Verifique se o Teorema de Stokes é verdadeiro para o campo vetorial dado F → e a superfície S . F → = y i → + z j → + x k → , S é o hemisfério x 2 + y ² + z ² = 1 ² ² , y ≥ 0 , orientado na direção po
Use o teorema de Stokes para calcular ∬ S c u r lF → ⋅ d S . F → x , y , z = e x y cos ⁡ z i → + x 2 z j → + x y k → , S é o hemisfério x = 1 - y 2 - z 2 orientado na direção positiva do eixo x . (Sug
Use o teorema de Stokes para calcular ∫ C F → ⋅ d r → . Em cada caso, C é orientada no sentido anti-horário quando vista de cima. F → x , y , z = y z i → + 2 x z j → + ( e x y ) k → , C é a circunferê