Use o Teorema de Stokes para calcular

∬ S r o t F   n   d S

onde F x , y , z = ( y 2 c o s z ,   2 x y   c o s z ,   - x y 2 s e n z ) e S é o femisfério x 2 + y 2 + z 2 = 9 ,   z ≥ 0 ,   com orientação ascendente.

Passo 1

Beleza então, questão diretona aí pra gente. Vamos lembrar o que é esse Teorema de Stokes?

Bom, nele nós trocamos a integral de Superfície por uma integral de linha, certo?

∫ ∂ S F   d r = ∬ S r o t F   n   d S  

Vamos começar então calculando o rotacional do nosso campo, tranquilo?

Passo 2

Lembrando que nosso campo é F x , y , z = y 2 c o s z ,   2 x y   c o s z ,   - x y 2 s e n z

Bora lá então,

2 x y s e n z - 2 x y s e n z i + y 2 s e n z - y 2 s e n z j + 2 y c o z - 2 y c o s z k

= 0 ,   0 ,   0

Caraca, melhor que isso é impossível. Temos um campo conservativo!! A integral de linha de um campo conservativo ao longo de QUALQUER curva fechada em seu domínio é nula!

Logo, nossa resposta é zero

Resposta

0

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