(Capítulo 16.8 – Exercício 8) Use o teorema de Stokes para calcular ∫ C F → ⋅ d r → . Em cada caso, C é orientada no sentido anti-horário quando vista de cima.

F → x , y , z = i ^ + x + y z j ^ + x y - z k ^ , C é o limite da partes do plano 3 x + 2 y + z = 1 no primeiro octante.

Passo 1

Faala, meu povo! Tudo bem com vocês? Partiu resolver mais um exercício?

O objetivo dessa questão é utilizar o Teorema de Stokes para resolver a integral de linha dada no enunciado. Tá, mas para que serve o Teorema de Stokes?

Stokes criou um teorema que generaliza essa necessidade de calcular as integrais de linha, transformando em uma integral de superfície do rotacional de F → .

Em termos de equação, é algo mais ou menos assim:

∫ C F → ⋅ d r → = ∬ S   ∇ → × F → ⋅ d S →

Então, a integral de linha de F → vira uma integral de superfície do rotacional de F → . Neste caso,

F → x , y , z = i ^ + x + y z j ^ + x y - z k ^

Agora, partiremos para o cálculo do rotacional do campo F → :

Em cálculo vetorial, rotacional é um operador que calcula, em uma superfície infinitesimal, o quanto os vetores de um campo vetorial se afastam ou se aproximam de um vetor normal a esta superfície.

E para nos ajudar, consideramos que o rotacional é uma matriz 3x3 que precisamos encontrar uma espécie de determinante com o método de Laplace para a primeira linha.

E aí temos:

∇ → × F → = i ^ j ^ k ^ ∂ x ∂ y ∂ z F x F y F z

Aplicando Laplace na primeira linha:

= ∂ y F z - ∂ z F y i ^ + ∂ z F x - ∂ x F z j ^ + ∂ x F y - ∂ y F x k ^

Desta forma:

∇ → × F → = x - y i ^ - y j ^ + k ^

Passo 2

Neste caso, a superfície que usaremos na integral de superfície é a parte do plano 3 x + 2 y + z = 1 restrita ao primeito octante. O vetor normal dessa superfície será o vetor normal do plano n → = ( 3 ,   2 ,   1 ) :

∇ → × F → ⋅ d S → = ∇ → × F → ⋅ n →   d S = x - y ,   - y ,   1 ⋅ 3 ,   2 ,   1   d S

Assim,

∇ → × F → ⋅ d S → = 3 x - 5 y + 1   d S

Vamos achar os pontos de interseção do plano com os eixos coordenados. Fazendo x = y = 0 , achamos

( 0 ,   0 ,   1 )

Fazendo x = z = 0 , achamos:

0 , 1 2 ,   0

E y = z = 0 , achamos:

1 3 ,   0 ,   0

Com esses valores em mente, podemos agora parametrizar a superfície, isolando z e deixando x e y como parâmetros livres:

z = 1 - 3 x - 2 y

No plano x y , temos o seguinte desenho:

A equação dessa reta é

y = 1 2 - 3 2 x

Assim, a integral de superfície será

∬ S   ∇ → × F → ⋅ d S → = ∬ S   3 x - 5 y + 1   d S = ∫ 0 1 / 3 ∫ 0 1 2 - 3 2 x 3 x - 5 y + 1   d y   d x

Passo 3

Fazendo a primeira integração em y :

∬ S   ∇ → × F → ⋅ d S → = ∫ 0 1 3 3 x 1 2 - 3 2 x - 5 2 1 2 - 3 2 x 2 + 1 2 - 3 2 x   d x

Vamos rearranjar os termos:

3 x 1 2 - 3 2 x - 5 2 1 2 - 3 2 x 2 + 1 2 - 3 2 x = 3 x 2 - 9 x 2 2 - 5 8 - 45 x 2 8 + 15 x 4 + 1 2 - 3 x 2

Portanto,

3 x 1 2 - 3 2 x - 5 2 1 2 - 3 2 x 2 + 1 2 - 3 2 x = - 81 x 2 8 + 15 x 4 - 1 8

Logo,

∬ S   ∇ → × F → ⋅ d S → = 1 4 ∫ 0 1 / 3 - 81 x 2 2 + 15 x - 1 2   d x

Fazendo a integração:

∬ S   ∇ → × F → ⋅ d S → = 1 4 - 27 2 ⋅ 1 3 3 + 15 2 ⋅ 1 3 2 - 1 2 ⋅ 1 3 = 1 4 - 1 2 + 5 6 - 1 6 = 1 24

Portanto, pelo Teorema de Stokes:

∫ C F → ⋅ d r → = 1 24

Prontinho, pessoal! Pra essa questão é isso! Bora resolver mais uma?

Resposta

∫ C F → ⋅ d r → = 1 24

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