Considere o campo de vetores F x , y , z = x 2 y , x 3 3 , x y .

  1. Calcule R o t F .
  2. Use o Teorema de Stokes para calcular a integral

∫ C F ⋅ d r

Onde C é a curva interseção da superfície z = - x 2 + y 2 com o cilindro x 2 + y 2 = 4 .

Passo 1

Começaremos determinando R o t F . Mas, antes disso, o que é esse R o t F ?

Ele nada mais é que o rotacional do campo vetorial F . E existe uma dica bem legal para relembrarmos como calcular o rotacional: basta fazermos um produto vetorial entre o vetor gradiente com F .

Como assim? Produto vetorial de quem com quem? Bom, vejamos abaixo:

R o t F = ∇ ∧ F = i j k ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z x 2 y x 3 3 x y

Basta montar uma matriz 3x3 em que a primeira linha consiste nos vetores da base canônica (i,j,k), na segunda linha são as derivadas parciais relativas ao gradiente e na terceira linha as coordenadas do campo F .

Agora, basta calcularmos o determinante desta matriz. Portanto,

R o t F = ∂ ∂ y x y - ∂ ∂ z x 3 3 i + ∂ ∂ z x 2 y - ∂ ∂ x x y j + ∂ ∂ x x 3 3 - ∂ ∂ y x 2 y k

R o t F = x - 0 i + 0 - y i + x 2 - x 2 k

R o t F = x i - y j + 0 k = x , - y , 0

Pronto, calculamos o rotacional do nosso campo!

Passo 2

Antes de utilizarmos o Teorema de Stokes, vamos relembrar o que ele nos diz! De uma forma resumida, ele afirma que a integral de linha da função F na curva C corresponde ao fluxo do rotacional da função F na superfície orientada positivamente S delimitada pela curva C .

Se escrevermos matematicamente o que a definição nos diz, temos:

∫ C F ⋅ d r = ∬ S R o t F ⋅ d S →

Em que o vetor d S → é dado por d S → = n → ⋅ d S .

Como o rotacional já foi resolvido no Passo 1, nos só temos que calcular o vetor normal a superfície n → e calcular o elemento de área d S .

Entretanto, antes de começarmos a calculá-los, precisamos parametrizar a nossa superfície.

Para isto, sabemos que ela é dada por r → x , y , z = x , y , z . Só que como conseguimos explicitar a variável z no nosso paraboloide hiperbólico z = - x 2 + y 2 , a nossa superfície possui a seguinte equação parametrizada:

r → x , y = x , y , - x 2 + y 2

E o domínio dessa superfície é a parte interna ao cilindro x 2 + y 2 = 4 . Portanto,

D = x , y ∈ R 2 | x 2 + y 2 ≤ 4

Passo 3

Agora, já possuímos as informações suficientes para calcular o elemento de área d S e o vetor normal n → .

Vamos começar os cálculos pelo elemento de área d S . Ele é obtido da norma do produto vetorial de r → x x , y por r → y x , y . Isto é,

d S = | | r → x x , y ∧ r → y x , y | | d x d y

Começaremos obtendo as derivadas parciais da equação paramétrica da superfície S, r → x , y = x , y , - x 2 + y 2 . Para isto, basta lembrar que ao derivarmos em relação a x , consideramos y constante, e vice-versa. Logo,

r → x x , y = 1,0 , - 2 x

r → y x , y = 0,1 , 2 y

Agora, vamos calcular o produto vetorial entre eles. Para isto, basta montar uma matriz 3x3 em que a primeira linha consiste nos vetores da base canônica (i,j,k), na segunda linha são as coordenadas do primeiro vetor e na terceira linha as coordenadas do segundo vetor. O determinante desta matriz é o nosso vetor resultante.

Portanto, calculando o produto vetorial, temos:

r → x x , y ∧ r → y x , y = i j k 1 0 - 2 0 1 2 y x = 2 x i - 2 y j + k = 2 x , - 2 y , 1

Calculando a norma deste vetor resultante, temos:

r → x x , y ∧ r → y x , y = 2 x 2 + - 2 y 2 + 1 2 = 4 x 2 + 4 y 2 + 1 = 4 x 2 + y 2 + 1

Portanto, o elemento de área é:

d S = 4 x 2 + y 2 + 1 d x d y

Já para calcularmos o vetor normal a superfície, vamos utilizar estas relações de produto vetorial obtidas! Este vetor será dado por:

n → = r → x x , y ∧ r → y x , y r → x x , y ∧ r → y x , y = 2 x , - 2 y , 1 4 x 2 + y 2 + 1

Passo 4

Agora, podemos juntar todas as nossas informações para calcular a nossa integral de linha. Como o Teorema de Stokes afirma, temos:

∫ C F ⋅ d r = ∬ S R o t F ⋅ d S → = ∬ S R o t F ⋅ n → d S →

Substituindo os valores que obtivemos nos Passos anteriores, temos:

∬ S x , - y , 0 ⋅ 2 x , - 2 y , 1 4 x 2 + y 2 + 1 4 x 2 + y 2 + 1 d x d y

∬ S x , - y , 0 ⋅ 2 x , - 2 y , 1 d x d y

Esta operação entre vetores é um produto interno. Para resolvermos, precisamos multiplicar a primeira coordenada de cada vetor e somar com o produto da segunda coordenada de cada vetor e, por fim, somar com o produto da terceira coordenada de cada vetor. Logo,

∬ S 2 x 2 + 2 y 2 d x d y = ∬ S 2 x 2 + y 2 d x d y

Agora, basta substituirmos os limites de integração, os quais estão relacionados ao domínio D da nossa superfície. Como D = x , y ∈ R 2 | x 2 + y 2 ≤ 4 , o que corresponde a uma região circular, fica muito mais fácil resolver esta integral dupla se mudarmos o nosso sistema de coordenadas para as coordenadas polares.

E é isto o que vamos fazer. Vamos mudar o elemento de área para coordenadas polares e a função z da nossa integral. Lembrando, as coordenadas polares são dadas por:

x = ρ cos ⁡ t

y = ρ sen ⁡ t

Com 0 ≤ ρ ≤ 2 e 0 ≤ t ≤ 2 π (limites que saem diretamente do disco de raio 2 e arco 2 π . Continuando, o elemento de área é:

E sendo assim, a nossa integral se transforma em:

∬ S 2 x 2 + y 2 d x d y = ∫ 0 2 π ∫ 0 2 2 ρ 2 ρ d ρ d t = ∫ 0 2 π ∫ 0 2 2 ρ 3 d ρ d t

Resolvendo esta integral, temos:

∫ 0 2 π ∫ 0 2 2 ρ 3 d ρ d t = ∫ 0 2 π 2 ρ 4 4 0 2 d t = ∫ 0 2 π 2 ⋅ 4 d t = 8 t 0 2 π = 16 π

E assim finalizamos a questão.

Resposta

  1. O rotacional é dado por
  2. R o t F = x i - y j + 0 k = x , - y , 0

  3. A integral de linha é dada por:

∫ C F ⋅ d r = 16 π

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