Use o teorema de Stokes para calcular ∫ C F → ⋅ d r → . Em cada caso, C é orientada no sentido anti-horário quando visto de cima.

F → x , y , z = x + y 2 i → + y + z 2 j → + ( z + x 2 ) k → , C é o triângulo com vértices 1,0 , 0 ; 0,1 , 0   e   ( 0,0 , 1 ) .

Passo 1

Faala, meu povo! Tudo bem com vocês? Partiu resolver mais um exercício?

O triângulo com vértices em 1,0 , 0 , 0,1 , 0 e   ( 0,0 , 1 ) é bem famoso no mundo da matemática.

Ele tem essa carinha aqui:

Nesse exercício, precisamos resolver a integral de superfície que está sob o plano formado por esses vértices. Para determinar a superfície z , precisamos equacionar esse plano.

Caso esteja com dúvidas sobre a equação do plano, dá uma espiadinha no capítulo 12.5 para lembrar como é feita a equação de um plano com três pontos. Ok?

A equação desse plano, com vetor normal v → 1,1 , 1 e ponto ( 1,0 , 0 ) (aqui você pode escolher qualquer um dos três pontos para equacionar o plano) vai ser:

x + y + z = 1

Assim g x , y = 1 - x - y .

E o vetor normal a essa superfície vai ser n → = v → = 1,1 , 1 .

Passo 2

Legal! O próximo passo é determinar a região de integração. Como é um plano em x y , os limites vão ser:

0 ≤ x ≤ 1 0 ≤ y ≤ 1 - x

E o elemento de área vai ser: d A = d y d x

Passo 3

Partiremos para o cálculo do rotacional do campo F → :

Em cálculo vetorial, rotacional é um operador que calcula, em uma superfície infinitesimal, o quanto os vetores de um campo vetorial se afastam ou se aproximam de um vetor normal a esta superfície.

E para nos ajudar, consideramos que o rotacional é uma matriz 3x3 que precisamos encontrar uma espécie de determinante com o método de Laplace para a primeira linha.

E aí temos:

∇ × F → = i → j → k → ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z x + y 2 y + z 2 z + x 2

Aplicando Laplace na primeira linha:

= i   → ∂ ∂ y ( z + x 2 ) - ∂ ∂ z ( y + z 2 ) + j → ∂ ∂ z ( x + y 2 ) - ∂ ∂ x ( z + x 2 ) + k → ∂ ∂ x ( y + z 2 ) - ∂ ∂ y ( x + y 2 )

Todos esses valores nos parênteses menores serão derivados pelas variáveis dos denominadores correspondentes.

Aplicando para todos os elementos teremos:

∇ × F → = - 2 z ,   - 2 x , - 2 y

O produto escalar entre ∇ × F → e n → fica:

∇ × F → ⋅ n → = - 2 z ,   - 2 x , - 2 y ⋅ 1,1 , 1 = - 2 z - 2 x - 2 y = - 2 1 - x - y - 2 x - 2 y = - 2

Passo 4

Agora é colocar tudo na integral:

∬ S c u r l   F → ⋅ d S = ∫ 0 1 ∫ 0 1 - x ( - 2 ) d y d x = ∫ 0 1 - 2 y 0 1 - x d x = ∫ 0 1 - 2 ( 1 - x ) d x = - 2 x + 2 x 2 2 0 1

∬ S c u r l   F → ⋅ d S = - 2 + 1 = - 1

Prontinho! Pra essa questão é isso, pessoal! Bora resolver mais uma?

Resposta

∬ S c u r l   F → ⋅ d S = - 1

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