Passo 1

Bom, a gente sempre deve fazer o teste da divergência antes de tentar qualquer outro teste (a não ser que a série envolva um fatorial ou seja muito complicado de calcular o limite), porque se o cara for divergente, a gente já mata a questão, ok? Você lembra o que diz o teste da divergência?

Relaxa, nada mais é que calcular o limite do termo geral da série, quando n → ∞ . Se esse limite for diferente de zero, a série diverge, e se ele for igual a zero, nada podemos concluir. Então bora fazer esse teste:

lim n → ∞ ⁡ s e n 2 n 4 n

Como estamos tratando de uma função periódica, precisaremos usar o Teorema do Confronto. Dá uma olhada de como fazer: a gente sabe que a função seno varia entre - 1 e 1 .

- 1 ≤ s e n 2 n ≤ 1

“Ahhhh, mas ali é s e n ( 2 n ) , eu aprendi só com s e n ( n ) .”

Fica tranquilo, quando você multiplica DENTRO do parênteses, a única coisa que muda é o período da função, não o valor dela. Continuando:

- 1 4 n ≤ s e n 2 n 4 n ≤ 1 4 n

Percebeu o que eu fiz? Apenas manipulei a expressão pra aparecer ali no meio o que eu queria! Agora vamos passar o limite em todo mundo:

lim n → ∞ ⁡ - 1 4 n ≤ lim n → ∞ ⁡ s e n 2 n 4 n ≤ lim n → ∞ ⁡ 1 4 n

0 ≤ lim n → ∞ ⁡ s e n 2 n 4 n ≤ 0

Eita! Deu zero, então agora vamos para outro teste.

Passo 2

Você vai ver que vai ser esse teste que você vai usar na maioria das vezes quando aparecer um seno ou um cosseno dessa maneira simples aí. Vamos usar o teste da comparação! Olha só como:

s e n 2 n ≤ 1

s e n 2 n 4 n ≤ 1 4 n

Perceba que termo geral da nossa série é SEMPRE menor ou igual ao termo geral de uma série geométrica de razão r = 1 4 e a gente já viu que a série geométrica converge para r < 1 .

∑ s e n 2 n 4 n ≤ ∑ 1 4 n

Como a nossa série é sempre menor ou igual a uma série que converge, então a nossa série também converge.

Resposta

A série converge.

Exercícios de Livros Relacionados

Suponha que ∑ a n e ∑ b n sejam séries com termos positivos e que ∑ b n seja divergente.(a) Se a nb n para todo n , o que você pode dizer de ∑ a n ? Por quê?(b)Se a nb n para todo n , o que você pode
Determine se a série converge ou diverge. ∑ n = 1 ∞ n 3 n 4 - 1
Determine se a série converge ou diverge. ∑ n = 1 ∞ 1 n 2 + n + 1
Determine se a série converge ou diverge. ∑ n = 1 ∞ n + 1 n n
Determine se a série converge ou diverge. ∑ n = 1 ∞ 1 3 n 4 + 1 3