Sabendo que a série ∑ k = 1 ∞ 1 k diverge é correto afirmar que ∑ k = 1 ∞ ln ⁡ k k   converge?

Sim ou Não?

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos começar?

O problema nos deu uma afirmação

“Sabendo que a série ∑ k = 1 ∞ 1 k diverge”

E perguntou:

“é correto afirmar que ∑ k = 1 ∞ ln ⁡ k k   converge?”

Para identificarmos se a afirmação está certa ou errada, precisamos usar o teste da comparação.

Vamos comparar a nossa série com uma outra que sabemos o comportamento, ou seja, comparamos nossa série com uma série conhecida.

E daí podemos ter duas opções:

  • Sempre que a série conhecida estiver por cima “por cima” e convergir, então a nossa série (que está “por baixo”) também irá convergir
  • Sempre que a série conhecida estiver “por baixo” e divergir, então nossa série (“que está por cima”) também irá divergir

Passo 2

O problema nos disse que como

∑ k = 1 ∞ 1 k  

Diverge, então

∑ k = 1 ∞ ln ⁡ k k

Irá convergir

Então, comparando com as opções do teste da comparação que falei ali no passo anterior, para que a série convirja, a série conhecida deve ser maior, deve estar “por cima”

Isso significa que os termos da série ∑ k = 1 ∞ ln ⁡ k k

Devem ser MENOR do que a conhecida

∑ k = 1 ∞ 1 k

Mas ln ⁡ k > 1 para k > 1 .

Então

∑ k = 1 ∞ ln ⁡ k k > ∑ k = 1 ∞ 1 k

Passo 3

Como a série conhecida está por baixo e diverge, nossa série que está por cima irá divergir também.

Mas o problema afirma que ela converge! Então está errada afirmativa da questão!

A resposta certa é: não

Beleza? Espero ter ajudado!

Até a próxima!

Resposta

n ã o

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