(Capítulo 11.4 – Exercício 5) Determine se a série converge ou diverge.

∑ n = 1 ∞ n + 1 n n

Passo 1

Oii galera, vamos lá? Nessa questão temos essa série:

∑ n = 1 ∞ n + 1 n n

E aí queremos saber se ela converge (tende a um valor finito) ou diverge (explode para o infinito)

Para isso, vamos usar o teste da comparação fechou?

Este teste funciona da seguinte forma: vamos comparar duas séries, uma de convergência conhecida e outra não.

Supondo que nós temos duas séries: ∑ a n e ∑ b n , podemos concluir algumas coisas:

Se a n ≥ b n ,   ∀ n e nós sabemos que ∑ b n diverge, então ∑ a n também diverge.

Se a n ≤ b n ,   ∀ n e nós sabemos que ∑ b n converge, então ∑ a n também converge.

Para outros casos não podemos concluir nada.

Então partiuuu

Passo 2

Temos a série

∑ n = 1 ∞ n + 1 n n

Podemos reparar que

n + 1 n n ≥ n n n

Afinal, quanto maior o numerador, maior o resultado da fração né

Então, cortando em cima e embaixo

n + 1 n n ≥ 1 n

Podemos chamar a n = n + 1 n n e b n = 1 n

Uma vez que o termo b n é de uma p-série com p = 1 / 2 < 1 , ou seja, b n é um termo de uma série divergente, chegamos à conclusão de que a nossa série também é divergente pelo Teste da Comparação!

Showww

Resposta

∑ n = 1 ∞ n + 1 n n   é divergente

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