Determine se a série converge ou diverge.

t) ∑ n = 1 ∞ 1 n ( 1 + ln 2 ⁡ n )

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente determinar se a séria converge ou diverge.

Pra isso, vamos invocar o teste da integral pra nos ajudar. Esse teste nos diz que se temos uma função decrescente f ( x ) tal que f n = a n (significa que substituindo um valor n na função, teremos o termo geral da série, que é a n ), então se a integral dessa função converge, a série também converge.

Basicamente, a gente troca o n por x no nosso termo geral, a n = 1 n ( 1 + ln 2 ⁡ n ) e teremos a função:

f x = 1 x ( 1 + ln 2 ⁡ x )

E a gente já percebe que ela decrescente, porque f ( x ) vai diminuindo a medida que x aumenta. Então, nós podemos calcular a integral do teste:

∫ 1 ∞ f x d x = ∫ 1 ∞ 1 x ( 1 + ln 2 ⁡ x ) d x

Essa é uma integral imprópria (o intervalo de integração é infinito), então pra calculá-la vamos usar a seguinte propriedade:

∫ 1 ∞ f x d x = lim b → ∞ ⁡ ∫ 1 b f x d x

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar escrevendo nossa integral:

∫ 1 ∞ 1 x ( 1 + ln 2 ⁡ x ) d x

E vamos usar uma substituição pra facilitar nossa vida, chamando:

u = ln ⁡ x

d u = 1 x   d x

Dessa forma, nossos intervalos de integração ficam:

x = 1 → u = 0

x → ∞   ⇒ u → ∞

Então, substituindo teremos:

∫ 0 ∞ 1 ( 1 + u 2 ) d x

Resolvendo a integral, vamos ter o limite:

= l i m b → ∞ arctan ⁡ u ​ 0 b

= l i m b → ∞ arctan ⁡ b - arctan ⁡ 0

Quando b → ∞ , temos arctan ⁡ b → π 2 e arctan ⁡ 0 = 0 . Logo:

= π 2 - 0

= π 2

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

C o n v e r g e

∑ n = 1 ∞ 1 n ( 1 + ln 2 ⁡ n ) = π 2

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