Quais das séries convergem e quais divergem? Para as séries convergentes, calcule a sua soma:

j) ∑ n = 0 ∞ 1 x n ,     x > 1

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente determinar se a séria converge ou diverge e se ela convergir, calcular sua soma.

Bom, pra testar a convergência de séries existem vários métodos. Nesse caso, como nosso termo geral é a n = 1 x n = x - n , nós podemos usar o teste da raiz para nos livrarmos desse expoente chato. Isso acontece porque no teste da raiz podemos escrever:

a n n = a n 1 n = x - 1 = 1 x

Daí assumimos que a n 1 n tende a um valor limite L quando n tende a infinito. Se esse limite L existir:

s e   0 ≤ L < 1     e n t ã o   ∑ a n   c o n v e r g e s e   L > 1   o u lim n → ∞ ⁡ a n 1 n   e n t ã o   ∑ a n   d i v e r g e s e   L = 1 ,       e n t ã o   n ã o   s e   p o d e   f a l a r   n a d a

Nós não vamos precisar calcular o limite, porque basta usar a condição de desigualdade, x > 1 , que o enunciado no deu, para obtermos um intervalo de convergência que atenda as condições do teste da raiz.

Além disso, vamos verificar o valor da soma   da série, notando que nós temos uma série geométrica, ∑ n = 0 ∞ x - n , cuja soma é dada é por:

∑ n = 0 ∞ r n = 1 1 - r

Onde r é a razão da série geométrica.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos partir do termo geral que nós encontramos no passo 1 , usando o teste da raiz, que foi 1 x . O enunciado nos disse que x > 1 , sendo assim, 1 dividido por x vai ser menor do que 1 , certo? Então, nós temos:

1 x < 1

Pela propriedade do módulo, se u < a e a > 0 , então - a < u < a . Assim, vamos ter:

- 1 < 1 x < 1

Dessa forma,

1 x > - 1                 e             1 x < 1

Isolando x nas duas inequações, temos:

- x < 1 → x > - 1

E

x > 1

Portanto, nossa série converge no intervalo:

I = - ∞ ,   - 1 ∪ ( 1 ,   + ∞ )

Passo 3

Agora para calcular a soma dessa série, precisamos perceber que temos uma série geométrica de razão 1 x . E na série geométrica do tipo ∑ n = 0 ∞ r n , sua soma é definida por:

∑ n = 0 ∞ r n = 1 1 - r

Como nosso r é igual a 1 / x , vamos ter:

∑ n = 0 ∞ 1 x n = 1 1 - 1 x

Simplificando:

∑ n = 0 ∞ 1 x n = x x - 1

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

C o n v e r g e

∑ n = 0 ∞ 1 x n = x x - 1

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