Exercícios Resolvidos de Teste da Comparação

James Stewart, Cálculo Vol. 2, tradução da 6ª ed. Norte-americana, Rio de Janeiro: CENGAGE learning, 2010, pp. 672, exercício 7

Determine se a série converge ou diverge.

∑ n = 1 ∞ 9 n 3 + 10 n

Passo 1

Como o termo geral da série tende para zero, sabemos que o Teste da divergência não é útil aqui. Já que a expressão de a n é relativamente simples, parece uma boa tentar aplicar o Teste da comparação.

Antes de tudo, precisamos ter uma ideia sobre a convergência da série, para saber com o que comparar.

Essa série se parece com uma série geométrica de r = 9 10 , não é? O termo geral parece que tende rápido para zero, como na geométrica, então, imaginamos que essa série convirja.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos, então, comparar essa série com a geométrica que acabamos de mencionar

∑ n = 1 ∞ 9 10 n = ∑ n = 1 ∞ 9 n 10 n

Como temos r = 9 10 < 1 , sabemos que essa série converge. Certo, agora vamos comparar as duas séries. Sabemos que

3 + 10 n > 10 n

Portanto, podemos dizer que

9 n 3 + 10 n < 9 n 10 n

Como os termos da série do problema são menores que os de uma série que converge, pelo Teste da comparação, sabemos que essa série converge.

Resposta

A série converge.

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