Sabendo que a série ∑ k = 1 ∞ 1 3 k converge é correto afirmar que ∑ k = 1 ∞ 1 3 k + 5 k   converge?

Sim ou Não?

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos começar?

O problema nos deu uma afirmação

“Sabendo que a série ∑ k = 1 ∞ 1 3 k converge”

E perguntou:

“é correto afirmar que ∑ k = 1 ∞ 1 3 k + 5 k   converge?”

Para identificarmos se a afirmação está certa ou errada, precisamos usar o teste da comparação.

Vamos comparar a nossa série com uma outra que sabemos o comportamento, ou seja, comparamos nossa série com uma série conhecida.

E daí podemos ter duas opções:

  • Sempre que a série conhecida estiver por cima “por cima” e convergir, então a nossa série (que está “por baixo”) também irá convergir
  • Sempre que a série conhecida estiver “por baixo” e divergir, então nossa série (“que está por cima”) também irá divergir

Passo 2

O problema nos disse que como

∑ k = 1 ∞ 1 3 k  

Converge, então

∑ k = 1 ∞ 1 3 k + 5 k

Também converge

Então, comparando com as opções do teste da comparação que falei ali no passo anterior, para que a série convirja, a série conhecida deve ser maior, deve estar “por cima”

Isso significa que os termos da série ∑ k = 1 ∞ 1 3 k + 5 k

Deve ser MENOR do que a conhecida

∑ k = 1 ∞ 1 3 k

Passo 3

Então vamos verificar se isso se confirma. Analisando os termos da nossa série:

1 3 k + 5 k = 1 8 ; 1 34 ; 1 152 ; 1 706

Com os termos da série conhecida:

1 3 k = 1 3 ; 1 9 ; 1 27 ; 1 81

Vemos que a nossa série está “por baixo” da série conhecida (que converge)

Então podemos afirmar que nossa série converge, assim como a que está por cima dela, nossa conhecida!

Assim a resposta certa é: sim

É correto afirmar que se ∑ k = 1 ∞ 1 k 2 converge, então ∑ k = 1 ∞ k k 2 + 1 também converge.

Beleza? Espero ter ajudado!

Até a próxima!

Resposta

s i m

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