Exercícios Resolvidos de Teste da Comparação

Considere a função f x = tg ⁡ x .

  1. Determine o polinômio de T a y l o r de 3 º grau centrado em x 0 = 0 de f ( x ) .
  2. Determine se a série ∑ n = 1 ∞ n tg ⁡ 1 n 2 é convergente ou divergente.

Passo 1

Item b) Na letra A ele pedia o Polinômio de Taylor. O resultado encontrado nesse caso é:

P 3 x = x + x 3 3

Bem, se o exercício nos pediu pra determinar o polinômio de T a y l o r em meio de uma prova sobre séries, ele só pode estar nos sugerindo que o utilizamos, certo?! ;)

Esse polinômio nos indica que próximo de 0 , tg ⁡ x fica muito próximo do polinômio. Note também que quanto maior o grau do polinômio mais a gente se aproxima de tan ⁡ x . Ou seja

lim n → ∞ ⁡ P n x = tg ⁡ x

Se a gente tomar que o x está se aproximando de 0 pelos positivos, podemos notar que

P 3 x ≥ P 2 x ≥ P 1 ( x )

Pois, tendo como P 1 x = x , verificamos

x + x 3 3 ≥ x  

Isso é verdade pois a soma de termos positivos é sempre maior que um dos termos. Então

lim n → ∞ ⁡ P n x ≥   P 1 ( x )

tg ⁡ x ≥ x

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Mas o que isso tem a ver com a série que temos que testar?

Pois então, reparando bem a série, que temos que testar, temos um termo tg ⁡ 1 n 2 , como n está ficando grande, então o inverso 1 n 2 está tendendo a 0 sempre pelo lado positivo, logo a gente pode falar que

tg ⁡ 1 n 2 ≥ 1 n 2

Como n é positivo, podemos multiplicar ambos os latos dessa inequação por n

n tg ⁡ 1 n 2 ≥ n n 2

n tg ⁡ 1 n 2 ≥ 1 n

Logo, se a gente percebe que

∑ n = 1 ∞ n tg ⁡ 1 n 2 ≥ ∑ n = 1 ∞ 1 n

Essa série ∑ n = 1 ∞ 1 n aqui a gente conhece, é a série harmônica, se lembra? E ela diverge, forçando a nossa série que estamos testando divergir também!:)

Resposta

Item a)

P 3 x = x + x 3 3

Item b)

A série é ∑ n = 1 ∞ n tg ⁡ 1 n 2 é divergente.

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