9 - Determine se a série converge ou diverge.

l) ∑ n = 1 ∞ ln 3 ⁡ n n 3

Passo 1

Iae, como vai? Essa questão está difícil, né? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍

Nesse problema queremos determinar se a serie dada por ∑ n = 1 ∞ ln 3 ⁡ n n 3 converge ou diverge.

Parece de boa? 🤔

Para resolver esse problema podemos aplicar o teste da comparação.

Esse teste consiste em comparar nossa série ∑ n = 1 ∞ a n com uma outra série ∑ n = 1 ∞ b n .

Dessa forma, se a n ≤ b n e b n converge, então a n também converge, mas se a n ≥ b n e b n diverge, então a n também diverge!

Sacou? Bora começar! 😉

Passo 2

Nesse caso, sabemos que ln 3 ⁡ n < n 3 2 para n ≥ 1 . Dividindo os dois lados por n 3 , temos

ln 3 ⁡ n < n 3 2

ln 3 ⁡ n n 3 < n 3 2 n 3

ln 3 ⁡ n n 3 < 1 n 3 2

Portanto vamos analisar se b n = 1 n 3 2 converge...

Para saber se b n converge, podemos fazer uma assimilação com as P-Séries.

as P-Séries são dadas por

b n = 1 n p

E podemos determinar sua convergência apenas analisando o valor de p ...

Se p > 1 , a série converge, mas se p ≤ 1 a série diverge!

Nesse caso, temos que p = 3 2 portanto b n converge...

Como b n converge e b n > a n , então certamente a n também converge!

E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí

Resposta

Converge pelo teste da comparação.

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