Diga se as séries são convergentes ou divergentes:

c )   ∑ n = 1 ∞ n 7 + n 2 + 1 n 4 + 1

Passo 1

Oi, tudo bem?

Essa série parece complicada, mas vou ajudar você aqui!

Para dizer se uma série diverge ou não, precisamos aplicar os testes! Mas qual escolher?

Então, o primeiro teste que aplicamos é o teste da divergência! Com esse teste, já sabemos logo de cara se a série diverge. Então é um bom teste para começar!

O teste da divergência nos diz o seguinte:

Seja uma série do tipo

∑ n = 1 ∞ a n

Se

lim n → ∞ ⁡ a n ≠ 0   ( o u   ∞ ,   o u   ∄ )

Então a série diverge

Caso o limite seja = 0 , não podemos afirmar nada sobre a convergência dela!

Então vamos aplicar esse teste?

Nossa série é:

∑ n = 1 ∞ n 7 + n 2 + 1 n 4 + 1

E o a n

a n = n 7 + n 2 + 1 n 4 + 1  

Precisamos calcular o limite de a n quando n → ∞   (e aqui valem todas as técnicas de resolução de limites que você viu lá no cálculo 1, ta?):

lim n → ∞ ⁡ n 7 + n 2 + 1 n 4 + 1 = ∞ ∞

Como surgiu uma indeterminação, vou colocar em evidência n 4 embaixo e n 3 em cima:

lim n → ∞  ⁡ n 3 n 1 + 1 n 4 + 1 n 6 n 4 1 + 1 n 4 = lim n → ∞ ⁡ n 1 + 1 n 4 + 1 n 6 n 1 + 1 n 4 = lim n → ∞ ⁡ 1 n . n 1 + 1 n 4 + 1 n 6 1 + 1 n 4

No infinito em cima só sobrevive o termo n e embaixo, o termo n , então esse limite pode ser simplificado só com esses termos:

lim n → ∞ ⁡ n n = lim n → ∞ ⁡ 1 n = 0

Poxa vida! Sabemos que o teste da divergência é inconclusivo quando o limite vai à zero!

Sendo assim, precisamos de outro teste!

Mas calma! Tem luz no fim do túnel!

Vamos dar uma espiadinha na expressão que encontramos quando simplificamos o limite:

lim n → ∞ ⁡ 1 n . n 1 + 1 n 4 + 1 n 6 1 + 1 n 4

Temos que essa expressão é maior do que 1 / n :

1 n < 1 n . n 1 + 1 n 4 + 1 n 6 1 + 1 n 4

Isso nos sugere que podemos fazer uma comparação

Passo 2

Um outro teste bem poderoso é o teste da comparação!

Vamos comparar a nossa série com uma outra que sabemos o comportamento, ou seja, comparamos nossa série com uma série conhecida.

E daí podemos ter duas opções:

  • Sempre que a série conhecida estiver por cima “por cima” e convergir, então a nossa série (que está “por baixo”) também irá convergir
  • Sempre que a série conhecida estiver “por baixo” e divergir, então nossa série (“que está por cima”) também irá divergir

Como a série harmônica ∑ n = 1 ∞ 1 n é divergente e é menor do que nossa série, então o teste da comparação é perfeito aqui!

Passo 3

A série que está “por baixo” é a série harmônica:

∑ n = 1 ∞ 1 n

E sabemos que o comportamento dela é divergente.

Por outro lado, nossa série está “por cima”

∑ n = 1 ∞ 1 n . n 1 + 1 n 4 + 1 n 6 1 + 1 n 4 > ∑ n = 1 ∞ 1 n

Então se a série harmônica diverge, a nossa série também diverge

Concluímos que o comportamento da série

∑ n = 1 ∞ n 7 + n 2 + 1 n 4 + 1

É divergente.

Ufa! Terminamos!

Bora pra próxima?

Resposta

d i v e r g e n t e

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