Mostre que, se a n ≥ 0 e ∑ a n converge, então a série ∑ a n 2 também converge.

Passo 1

Faaaala, molecada. A ideia aqui é usar o critério da comparação. Com efeito, como ∑ a n converge, então

lim n → ∞ ⁡ a n = 0

Logo, ( a n ) é uma sequência limitada, ou seja, existe k > 0 tal que:

0 ≤ a n ≤ k ,         ∀   n ∈ N

Assim,

0 ≤ a n 2 = a n a n ≤ k a n ,     ∀   n ∈ N

Como ∑ k a n converge, então ∑ a n 2 também converge, pelo Teste da Comparação.

Obs.: Note que, neste caso, o Teste do Limite da Comparação:

lim n → ∞ ⁡ a n 2 a n

Não se aplica, pois não temos a hipótese a n > 0 (temos apenas a n ≥ 0 ).

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Suponha que ∑ a n e ∑ b n sejam séries com termos positivos e que ∑ b n seja divergente.(a) Se a nb n para todo n , o que você pode dizer de ∑ a n ? Por quê?(b)Se a nb n para todo n , o que você pode
Determine se a série converge ou diverge.sum_(n = 1)^(oo) (n^3)/(n^4 - 1)
Determine se a série converge ou diverge.sum_(n = 1)^(oo) (1)/(n^2 + n + 1)
Determine se a série converge ou diverge.sum_(n = 1)^(oo) (n + 1)/(n sqrt(n))
Determine se a série converge ou diverge.sum_(n = 1)^(oo) (1)/(root(3)((3 n^4 + 1)))