Quais das séries convergem e quais divergem? Para as séries convergentes, calcule a sua soma:

m) ∑ n = 0 ∞ n ! 1000 n

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente determinar se a séria converge ou diverge e se ela convergir, calcular sua soma. O termo geral da nossa série é dado por:

a n = n ! 1000 n

E sempre que a gente tiver um fatorial ou um expoente desse tipo, a gente pode pensar em utilizar o teste da razão. Isso porque o teste da razão nos diz que se calcularmos o limite:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = L

s e   0 ≤ L < 1     e n t ã o   ∑ a n   c o n v e r g e s e   L > 1   o u lim n → ∞ ⁡ a n + 1 / a n = ∞   e n t ã o   ∑ a n   d i v e r g e s e   L = 1 ,       e n t ã o   n ã o   s e   p o d e   f a l a r   n a d a

Então, vamos calcular nosso limite e verificar a convergência ou divergência dessa série de acordo com as condições do teste.

Vamos lá!

Passo 2

Já sabemos que a n = n ! 1000 n , então a n + 1 será:

a n + 1 = ( n + 1 ) ! 1000 n + 1

Assim, calculando o limite:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = lim n → ∞ ⁡ ( n + 1 ) ! 1000 n + 1 n ! 1000 n

= lim n → ∞ ⁡ ( n + 1 ) ! 1000 n + 1 ∙ 1000 n n !

Simplificando, temos:

lim n → ∞ ⁡ n ! ( n + 1 ) 1000 n ∙ 1000 ∙ 1000 n n !

= lim n → ∞ ⁡ n + 1 1000

Colocando 1 100 em evidência e aplicando o limite:

1 1000 lim n → ∞ ⁡ n + 1

= 1 1000 ∞ + 1 = ∞

Portanto, lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = ∞ e podemos dizer que nossa série diverge, pelo teste da razão.

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

D i v e r g e

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Determine se a série converge ou diverge.sum_(n = 1)^(oo) (n^3)/(n^4 - 1)
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