Justifique porque as sequências dadas pelos seguintes termos gerais convergem.

d) ∫ 1 n sin 2 ⁡ x x 2 d x

Passo 1

O critério da comparação, que é o que iremos utilizar para provar que a sequencia dada converge, pois calcular essa integral na mão é quase impossível, diz o seguinte

Sejam duas funções f e g continuas, definidas em [ a , ∞ ) , tais que

a ≤ f x ≤ g x

Se nessas condições,

Se ∫ a ∞ g ( x ) d x converge, então ∫ a ∞ f ( x ) d x também converge

Passo 2

Para ∀ x ∈ R ,   0 ≤ sin 2 ⁡ x ≤ 1 , e, portanto, se x ≥ 1 ,

0 ≤ sin 2 ⁡ x x 2 ≤ 1 x 2

Então vamos analisar

∫ - 1 ∞ 1 x 2 d x

= lim t → ∞ ⁡ ∫ - 1 t 1 x 2 d x = - 1 t - 1 = - 1

Como ∫ - 1 ∞ 1 x 2 d x

Converge, temos que

∫ 1 n sin 2 ⁡ x x 2 d x

Também irá convergir

Resposta

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Suponha que ∑ a n e ∑ b n sejam séries com termos positivos e que ∑ b n seja divergente.(a) Se a nb n para todo n , o que você pode dizer de ∑ a n ? Por quê?(b)Se a nb n para todo n , o que você pode
Determine se a série converge ou diverge.sum_(n = 1)^(oo) (n^3)/(n^4 - 1)
Determine se a série converge ou diverge.sum_(n = 1)^(oo) (1)/(n^2 + n + 1)
Determine se a série converge ou diverge.sum_(n = 1)^(oo) (n + 1)/(n sqrt(n))
Determine se a série converge ou diverge.sum_(n = 1)^(oo) (1)/(root(3)((3 n^4 + 1)))