Determine se a série converge ou diverge

∑ n = 1 ∞ ln ⁡ n n 3

Passo 1

Oii bora resolver essa comigo?

Para determinar se a série ∑ n = 1 ∞ ln ⁡ n n 3

converge ou diverge, podemos usar o teste de convergência.

Vamos aplicar o teste de convergência para ver o comportamento desta série.

O teste de convergência estabelece que, se a sequência a n associada à série é não negativa, decrescente (ou seja, a n   ≥   a n + 1 para todo n), e limitada, e se a série ∑ a n converge, então a série ∑ a n também converge.

No caso da série ∑ n = 1 ∞ ln ⁡ n n 3 observe que:

1. A sequência l n ( n ) / n 3 é sempre não negativa para n   ≥   1 , pois o logaritmo natural ( l n ) é não negativo para n   ≥   1 ,   e   n 3 é sempre positivo para n   ≥   1 .

2. A sequência l n ( n ) / n 3 é decrescente, pois o denominador n 3 aumenta mais rapidamente do que o numerador l n ( n ) .

Passo 2

Agora, precisamos verificar se a sequência l n ( n ) / n 3 é limitada.

Podemos usar o limite:

lim n → ∞ ⁡ l n n n 3

Podemos aplicar a regra de L'Hôpital aqui, que nos permite calcular o limite do quociente de duas funções.

A regra de L'Hôpital nos diz que:

lim n → ∞ ⁡ l n n n 3 = l i m n → ∞ d l n n d n d n 3 d n  

Ao calcular as derivadas, obtemos:

l i m n → ∞ 1 n 3 n 2 = 0

Portanto, o limite da sequência l n ( n ) / n 3 é igual a 0.

Agora, temos todos os requisitos do teste de convergência satisfeitos:

1. A sequência é não negativa.

2. A sequência é decrescente.

3. O limite da sequência é 0.

Resposta

Portanto, de acordo com o teste de convergência, a série ∑ ( l n ( n ) / n 3 ) converge.

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