Exercícios Resolvidos de Teste da Comparação

Determine quais dentre as séries abaixo convergem e quais divergem:

∑ n = 2 ∞ 1 n 2 + 1

Passo 1

Cara, olha para a nossa série

∑ n = 2 ∞ 1 n 2 + 1

Ela não parece com essa série aqui de baixo?

∑ n = 2 ∞ 1 n 2

Repara ainda que essa série é um p-série com o expoente de n maior que 1, então ela converge.

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Passo 2

Tá bem. Então a gente tem uma série parecida com a nossa, e a gente sabe que ela converge.

O teste da comparação diz se temos duas séries ∑ a n e ∑ b n , de termos positivos. a n ≤ b n e b n converge, então a n também converge.

Quem é nosso b n ?

O termo da nossa série que converge

b n = 1 n 2

E quem é a n ? O termo da série do enunciado

a n = 1 1 + n 2

E repara que

a n ≤ b n ∴ 1 1 + n 2 ≤ 1 n 2

Isso porque o denominador de a n é maior, né?

Como nossos termos são sempre positivos, a gente pode aplicar o teste da comparação aqui e dizer que a série do enunciado converge, porque seu termo é menor que b n , o termo da p-série, a qual sabemos que converge.

Beleza?

Resposta

Convergente

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