Exercícios Resolvidos de Teste da Comparação

Teste da comparação

Determine se a série abaixo é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente:

  ∑ n = 2 ∞ 1 ln ⁡ n 2

Passo 1

A primeira coisa que faríamos é ver se o limite do termo geral vai para 0 , como temos um ln ⁡ n ali no denominador é fácil ver que ele vai para e o limite do termo geral vai para 0 .

Então o teste da divergência não serve aqui.

Vamos tentar comparar esse termo com um termo da p série e tentar achar algum p para que o teste da comparação faça algum sentido.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos considerar p = 1 , ou seja, uma p série divergente, a série harmônia.

  ∑ n = 2 ∞ 1 n

Temos que, para qualquer valor de   n ≥ 2 :

ln ⁡ n 2 < n

Isso porque:

ln ⁡ 2 2 = 0,69 2 = 0,48 < 2

ln ⁡ 3 2 = 1,09 2 = 1,20 < 3

ln ⁡ 4 2 = 1,92 2 = 3,69 < 4

E assim por diante.

Tomando um número MUITO grande:

ln ⁡ 500000000 2 = 20,03 2 = 401,2 < 500000000

Ou seja, isso é válido para qualquer n .

Assim,

1 ln ⁡ n 2 > 1 n

Como:

∑ n = 2 ∞ 1 n

Então, segue que pelo teste de compação que

∑ n = 2 ∞ 1 ln ⁡ n 2

Também vai divergir.

Resposta

Diverge

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