Exercícios Resolvidos de Teste da Comparação

PUC-RJ - Cálculo 3 - P3 2014.1 - 1d

Diga se a série abaixo converge ou diverge.

∑ n = 1 ∞ sen ⁡ n 2 n 2 + 2

Passo 1

A ideia aqui é utilizar o teste da comparação pra dizer se a série converge ou diverge.

Só que tem um detalhe, a nossa série tem termos negativos e esse teste só é válido para séries de termos positivos. O que a gente faz nesse caso?

Vou te passar uma dica muito boa:

Se ∑ | a n | for convergente, então ∑ a n também é convergente.

Então, se eu puder verificar que o módulo dessa série converge, então a série vai convergir.

Repare que podemos dizer que:

0 ≤ sen ⁡ n 2 n 2 + 2

Como 0 ≤ sen ⁡ n 2 ≤ 1 e ( n 2 + 2 ) é sempre positivo, seja qual for o valor de n , podemos afirmar que:

sen ⁡ n 2 n 2 + 2 ≤ 1 n 2 + 2

Visto que n 2 + 2 > 0 e sen ⁡ n 2 ≤ 1 .

E repare que também podemos dizer que:

1 n 2 + 2 ≤ 1 n 2

Então, pelo teste da comparação, temos:

0 ≤ sen ⁡ n 2 n 2 + 2 ≤ 1 n 2 + 2 ≤ 1 n 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Então, concluímos que, como:

sen ⁡ n 2 n 2 + 2 ≤ 1 n 2

E 1 n 2 converge, a série converge absolutamente!! Então a série converge!

Resposta

A série converge.

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