Exercícios Resolvidos de Teste da Comparação

Verifique se a série

∑ n = 1 ∞ - 1 n arctg ⁡ n n 2

é absolutamente convergente.

Passo 1

Bem, o problema perguntou a se a série é absolutamente convergente, então vamos pegar a equivalente absoluta da série

∑ n = 1 ∞ - 1 n arctg ⁡ n n 2 = ∑ n = 1 ∞ arctg ⁡ n n 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Aí a sacada está em perceber que a função arco tangente é limitada com

- π 2 ≤ arctg ⁡ n ≤ π 2 .

Assim, vamos ter

arctg ⁡ n ≤ π 2 .

Dividindo por n 2

arctg ⁡ n n 2 ≤ π 2 ⋅ 1 n 2

Assim, vamos ter como comparar a série do problema com a p-série

∑ n = 1 ∞ arctg ⁡ n n 2 ≤ π 2 ⋅ ∑ n = 1 ∞ 1 n 2 .

Como a série da direita converge e a série do problema é sempre menor que ela, segue, por comparação que

∑ n = 1 ∞ - 1 n arctg ⁡ n n 2

é absolutamente convergente.

Resposta

Absolutamente convergente.

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas